文档介绍：第一章行列式
1、求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。
(1) 1347265； (2) 〃(〃 —1)・•・321。
【解】(1) r(1347265) = 0 + 0 + 0 + 0 + 3 + l + 2 = 6,偶排列；
(2)而(以_1)...321] = 0 + ] + 2 + ... + (“_1) = 〃(；1)。
当〃 =4化4* + 1时，〃"「)=2"4S1),2"4* + 1)为偶数，即为偶排列；
当〃 =4*+ 2,4*+3 时,丝= (2*+ 1)(4*+ 1),(2*+1)(4*+3)为奇数,即为奇
排列。■
2、用行列式定义计算
2x
X
1
2
1
X
1
-1
3
2
X
1
1
1
1
X
中f和的系数，并说明理由。
【解】由行列式定义可知：
含了4有的项只能是主对角线元素乘积，故的系数为2；
含有X，的项只能是(L 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4)的元素乘积项，而 7(2134) = 0 + 1 + 0 + 0 = 1,
故的系数为-1.・
2-512 -37-14
3、求。4= 。
4 5 -9 2 7
4-612
【解】三角化法：
2
-5
1
2
1
-5
2
2
1
-5
2
2
r2+rl
-1
2
0
6
Cl
0
2
-1
6
, 2
0
1
1
3
D；= r3~2rl
1
1
0
3
— —
0
1
1
3
—
0
2
-1
6
r4+r2
1
1
0
6
0
1
1
6
0
1
1
6
1
-5
2
2
0
1
1
3
0
0
-3
0
0
0
0
3
r4-r2
2
1
1
2
4
2
3
3
6
4
4
4
4、求 £）4 =
【解】性质（三角化法）+行和相等的行列式:
rk~r\
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
=120 k=,4
= 120。■
2 111
2 111
1111
2 4 2 2
12 11
rx +r2+r3+r4
12 11
=24
=120
3 3 6 3
r4 4-4
112 1
112 1
4 4 4 8
1112
1112
Xi - m
5、求=
x2 一 m
X1
【解】观察特点:
x2
行和相等。
…xn-m
各列均加到第一列
1
X2 . • •
C1 +c2 +"' + cn
D" = （£%-〃?）
1
x2-m
Z=1
1
x2
1
0 …
0
ck -xkc, n
k= （2＞，—m）
Z=1
1
—m …
0
1
0 …
—m
-m
=（»i -皿）（-皿）'1
Z=1
0
1
1
••- 1
1
ax
0
...o
6、求 Dn+l =
1
0
a2
...0
1
0
0
,•- a“
其中 axa2---an 丰 0。
【解】箭形行列式（爪形行列式）：利用对角线上元素将第一行（或列）中元素1化为零。
为此，第一列减去第人列的L M = 2,3,…,〃）可得:
ak
1
1 •-
• 1
i=l ai
0
ax
0 •-
. 0
0
0
•-
. 0
0
0
0 •-
.an
D“+i =
1
» ]
= -（Z—）a1a2---an □ ■
*
2
1
1
1
3
1
1
1
4
1
1
1
7、求 O =
7
1
1
0
0
。1
0
0
b2
逐行
如
t?4
0
0
。3
对换
0
0
。2
0
0
0
0
«3
0
0
a4
%
=（«1«4 一力/»4）（（?2（?3 一姑3）
【解】降阶法。
2
1
1 1
3 1
1
1
r\~r2
1 -2
1 3
0
1
0
1
C2 +2c[
1
1
0
5
0
1
0
1
1
1 4
1
1 1
4
1
1
3
4
1
1
1 1
7
1 1
1
7
1
3
1
7
14