文档介绍：第一章行列式
1、求下列排列的逆序数,并确定它们的奇偶性。
(1)1347265;(2)。
【解】(1),偶排列;
(2)。
当时,为偶数,即为偶排列;
当时,为奇数,即为奇排列。■
2、用行列式定义计算
中和的系数,并说明理由。
【解】由行列式定义可知:
含有的项只能是主对角线元素乘积,故的系数为2;
含有的项只能是(1,2),(2,1),(3,3),(4,4)的元素乘积项,而
,
故的系数为.■
3、求。
【解】三角化法:
。■
4、求。
【解】性质(三角化法)+行和相等的行列式:
。■
5、求。
【解】观察特点:行和相等。各列均加到第一列
。■
6、求,其中。
【解】箭形行列式(爪形行列式):利用对角线上元素将第一行(或列)中元素1化为零。
为此,第一列减去第列的()可得:
。■
7、求。
【解】降阶法。
。■
8、求。
【解】法1(性质法+拉普拉斯公式)
。
法2(降阶法)按第一行展开可得:
,
再各按最后一行展开可得:
。
注:不能简单地应用“对角线法则”得出错误结论:。■
9、证明。
【证】观察:相邻阶行列式具有“相似性”,为此,按第一列展开可得相邻阶行列式间的递推关系。
数学归纳法:
(i),成立;
(ii)假设成立,则由
可知:也成立,故得证。■
10、已知4阶行列式
,
求,其中为中元素的代数余子式()。
【解】由展开定理逆用和范德蒙行列式可得:
。■
11、解方程组其中互异。
【解】∵互异,
∴系数行列式,
,。
于是,由克莱姆法则可知:原方程组有唯一解,且解为
。■
12、当取何值时,齐刺线性方程组
有非零解。
【解】由克莱姆法则可知:原方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零,即
,
故。■
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第二章矩阵及其运算
1、设,求
(1);(2);(3)。
【解】(1)
。
(2)。
(3)。■
2、设都是阶对称阵,证明:为对称阵的充要条件是可交换,即。
【证】∵都是阶对称阵,∴.
必要性∵为对称阵,即,∴。
充分性∵,∴,即为对称阵。■
3、设为3阶方阵,,求。
【解】由逆阵、伴随阵性质与关系可得
。■
4、设,求。
【解】法1(归纳法)
∵,
,……,
∴。
法2(分解法)
∵,而
∴。■
5、求下列矩阵的逆矩阵:
(1);(2)()。
【解】(1)
法1(伴随法)
∵,∴可逆。
∵,
∴。
法2(初等变换法)此略。
(2)
法1(伴随法)
∵,∴可逆。
∵,
,
∴。
法2(初等变换法)此略。
法3(分块对角阵逆阵)多次应用,此略。■
6、设为阶可逆阵,试证的伴随阵也可逆,并求。
【证】定义法。
∵,即,∴可逆,且。■
7、设阶矩阵满足,证明:及均可逆,并求它们的逆。
【证】定义法。
∵,
∴①,故可逆,且;
②,故可逆,且
。■
8、设矩阵满足,且,求矩阵。
【解】抽象矩阵+具体矩阵的解矩阵方程问题。
∵,即,而,
∴。
注:
,。■
9、设是矩阵的伴随阵,矩阵满足,求矩阵,其中
。
【解】∵,,,
∴左乘可得,即, 。
于是,。
,,
,故。■
10、设,求及。
【解】设,则,
由分块对角阵逆阵公式可得:
。
。■
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第三章矩阵的初等变换与线性方程组
1、求下列矩阵的秩:
(1);
(2)。
【解】初等变换法。
(1)∵
(行阶梯形),
∴。
(2)∵
,
∴■
2、已知矩阵的秩为3,求的值。
【解】行列式法。
∵,