文档介绍：2014汤家凤线性代数辅导讲义
2014汤家凤线性代数辅导讲义
2014汤家凤线性代数辅导讲义
文都教育 2014 年考研数学春天基础班线性代数指导讲义
主讲 :汤家凤
第一讲 队列式
一、质
1、队列式与其转置队列式相等
,即 D
D T
。
2、对换两行 (或列 )队列式改变符号。
3、队列式某行 (或列 )有公因子能够提取到队列式的外面。
推论 1
队列式某行 (或列 ) 元素全为零 ,则该队列式为零。
推论 2
队列式某两行 (或列 )同样 ,队列式为零。
推论 3
队列式某两行 (或列 )元素对应成比率 ,队列式为零。
4 、队列式的某行
(或列 ) 的每个元素皆为两数之与时
,队列式可分解为两个队列式
, 即
a11
a12
a1n
a11a12
a1na11 a12
a1n
ai1 bi1 ai 2 bi 2 ain bin ai1 ai 2 ain bi1 bi 2 bin 。
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an1
an2
ann
an1
an 2
ann
a
n1
an2
ann
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5、队列式的某行
(或列 )的倍数加到另一行
(或列 ),队列式不变
,即
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a11
a12
a1n
a11
a12
a1n
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ai1
ai 2
ain
ai1
ka j 1ai 2
ka j 2
ain
ka jn
,此中 k 为随意常数。
a j1
aj 2
a jn
a j1
a j 2
ajn
an1
an 2
ann
an1
an2
ann
【例题 1】设
,,1,
2 ,
3为 4维列向量 ,且|A| |
, 1,
2, 3| 4,
|B| | , 1,3 2, 3| 21,求|A B|。
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3
2
1
【例题 2】用队列式性质
1~5 计算 1
2
3 。
2
4
8
2
5
1
2
【例题 3】计算队列式 D
3
7
1
4
5
9
2
。
7
4
6
1
2
1
a1
1
1
1
1
1 a2
1
1
【例题 4】计算 Dn
1
1
1 a3
1
,此中 ai 0(1 i n) 。
1
1
1
1 an
(二 )队列式降阶的性质
6、队列式等于队列式某行 (或列 )元素与其对应的代数余子式之积的与 ,即
D ai 1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain (i 1,2, , n) ,
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj ( j 1,2, , n) 。
7、队列式的某行 (或列 )元素与另一行 (或列 )元素的代数余子式之积的与为零。
3
2
1
【例题 1】用队列式按行或列睁开的性质计算1
2
3 。
2
4
8
2
5
1
2
【例题 2】设 D
3
7
1
4
,求(1) M 21
M 22
M 23
M 24 ;(2) M 31 M 32。
5
9
2
7
4
6
1
2
四、队列式的应用—克莱姆法例
a11 x1
a12 x2
a