文档介绍：机械工程测试技术基础****题解答
第一章信号的分类与描述
1-1 求周期方波(见图1-4)的傅里叶级数(复指数函数形式),|–ω和φn–ω图,并与表1-1对比。
图1-4 周期方波信号波形图
0
t
x(t)
…
…
A
-A
解答:在一个周期的表达式为
.
积分区间取(-T/2,T/2)
所以复指数函数形式的傅里叶级数为
,。
没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。
|cn|
φn
π/2
-π/2
ω
ω
ω0
ω0
3ω0
5ω0
3ω0
5ω0
2A/π
2A/3π
2A/5π
幅频图
相频图
周期方波复指数函数形式频谱图
2A/5π
2A/3π
2A/π
-ω0
-3ω0
-5ω0
-ω0
-3ω0
-5ω0
1-2 求正弦信号的绝对均值和均方根值。
解答:
1-3 求指数函数的频谱。
解答:
单边指数衰减信号频谱图
f
|X(f)|
A/a
0
φ(f)
f
0
π/2
-π/2
1-4 求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数(见图1-25b)的频谱。
t
sgn(t)
0
1
-1
t
u(t)
0
1
图1-25 题1-4图
a)符号函数
b)阶跃函数
a)符号函数的频谱
t=0处可不予定义,或规定sgn(0)=0。
该信号不满足绝对可积条件,不能直接求解,但傅里叶变换存在。
可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘,这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x1(t)的频谱,然后取极限得出符号函数x(t)的频谱。
符号函数
t
x1(t)
0
1
-1
符号函数频谱
f
φ(f)
0
π/2
0
f
|X(f)|
-π/2
b)阶跃函数频谱
在跳变点t=0处函数值未定义,或规定u(0)=1/2。
阶跃信号不满足绝对可积条件,但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件,不能直接求其傅里叶变换,可采用如下方法求解。
解法1:利用符号函数
结果表明,单位阶跃信号u(t)的频谱在f=0处存在一个冲激分量,这是因为u(t)含有直流分量,在预料之中。同时,由于u(t)不是纯直流信号,在t=0处有跳变,因此在频谱中还包含其它频率分量。
单位阶跃信号频谱
f
|U(f)|
0
(1/2)
f
φ(f)
0
π/2
-π/2
解法2:利用冲激函数
根据傅里叶变换的积分特性
1-5 求被截断的余弦函数(见图1-26)的傅里叶变换。
图1-26 被截断的余弦函数
t
t
T
-T
T
-T
x(t)
w(t)
1
0
0
1
-1
解:
w(t)为矩形脉冲信号
所以
根据频移特性和叠加性得:
可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二,各向左右移动f0,同时谱线高度减小一半。也说明,单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。
f
X(f)
T
f0
-f0
被截断的余弦函数频谱
1-6 求指数衰减信号的频谱
指数衰减信号
x(t)
解答:
所以
单边指数衰减信号的频谱密度函数为
根据频移特性和叠加性得:
0
0
X(ω)
-π
π
φ(ω)
ω
ω
指数衰减信号的频谱图
1-7 设有一时间函数f(t)及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡。在这个关系中,函数f(t)叫做调制信号,余弦振荡叫做载波。试求调幅信号的傅里叶变换,示意画出调幅信号及其频谱。又问:若时将会出现什么情况?
图1-27 题1-7图
ω
F(ω)
0
f(t)
0
t
-ωm
ωm
解:
所以
根据频移特性和叠加性得:
可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二,各向左右移动载频ω0,同时谱线高度减小一半。
f
X(f)
ω0
-ω0
矩形调幅信号频谱
若将发生混叠。
1-8 求正弦信号的均值、均方值和概率密度函数p(x)。
解答:
(1),式中—正弦信号周期
(2)
(3)在一个周期内
x(t)
正弦信号
x
x+Δx
Δt
Δt
t
第二章测试装置的基本特性
2-1 进行某动态压力测量时,,,而电荷放大器的输出接到一台笔式记录仪上,记录仪的灵敏度为20mm/V。试计算这个测量系统的总灵敏度。当压力变