文档介绍：KS5U2009届新课标数学考点预测(28):
特殊与一般的思想
由特殊到一般,再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一,通过对个例认识与研究,形成对事物的认识,由浅入深,由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。对数学而言,这种由特殊到一般,再由一般到特殊的研究数学问题的基本认识的过程,就是数学研究的特殊与一般的思想。在高考中,会设计一些构造特殊函数、特殊数列,寻找特殊点、确立特殊位置,利用特殊值、特殊方程,由特殊到一般进行归纳法猜想和类比法猜想的试题。

例1.(2008重庆卷,理6)若定义在上的函数满足:对任意有,则下列说法一定正确的是( )
(A) 为奇函数(B)为偶函数(C) 为奇函数(D)为偶函数
分析:判断函数的奇偶性需要用定义,即找与之间的关系,由于所以需要先求出的值,这时需要取特殊值解答。
解:令,得,令得∴,∴为奇函数,故选
答案:
评注:在对于抽象函数来说,常常通过取特殊值研究函数的奇偶性。
,则下列代数式中值最大的是
A. B. C. D.
分析:本题比较大小,可以取特殊值,也可以作差比较,还可以用基本不等式或排序不等式。
解法一:,通过计算比较最大。选A
解法二:
解法三:根据排序不等式知、、中,最大,再取特值
比较与
答案: A.
评注:本题中有多种做法,其中取特殊值法最简单,最直接。
例3(2008福建德化一中,理)已知对一切实数都有,且当>时,<
(1)证明为奇函数且是上的减函数;
(2)若关于的不等式对一切恒成立,求m的取值范围;
(3)如果,,记数列的前n项和分别为,求证
分析:本题中的函数为抽象函数,可通过取特殊值研究函数的单调性,再利用函数的单调性把不等式转化,得到关于的不等式恒成立,有函数求的最值解答,
(1)证明:依题意取
∴又取可得
∴由x的任意性可知为奇函数
又设
∴
∵∴∴在R上减函数
(2)解:∵函数是奇函数,∴由
得
∴即
又∵是上的减函数∴恒成立
当时,,故此时的最小值为,
∴
(3)∵∴
又,∴数列是以1为首项,以1为公差的等差数列,
∴, 要证明不等式,即是证明
也就是证明由柯西不等式得
要使不等式取得等号,当且仅当,而这是不可能成立的。
∴当时,,即
评注:研究抽象函数的单调性常用取特殊值法,本题较为综合的考查了抽象函数的单调性以及利用函数的单调性解得不等式及函数的最值,还有把函数问题转化为数列,最终利用柯西不等式证出。

例4.(2008陕西卷,)定义在上的函数满足(),,则等于( )

分析:由及,可令为特殊值,求出,
再取特值研究函数的奇偶性;或直接取满足条件的特殊函数解答。
解法一:取,则满足和,∴,选D
解法二:中,令,得,再令得,再令,得,令得,,再令,得,选D
评注:对于抽象函数来说,取特殊值和取特殊函数是常用的方法.
例5.(取特殊函数的三角题)

例6.(2008四川卷,理7)已知等比数列中,则其前3项的和的取值范围是
( )
(A) (B)
(C) (D)
分析:本题中的等比数列只知道,如果再知道公比,数列就可以确定,而选项是范围问题,可取定公比加以排除。
解法一:∵等比数列中∴当公比为1时,, ;
当公比为时,, 从而淘汰(A)(B)(C)
故选D;
解法二:∵等比数列中∴
∴当公比时,;
当公比时,
∴故选D;
评注:取特殊数列入手淘汰,如果一次不能区分,则需多次取有区分度的值进行排除,直至能辨别出正确答案为止,也可多种方法并存。要重视等比数列的通项公式,前项和公式,以及均值不等式的应用,特别注重均值不等式使用的条件是否具备,不具备就要进行分类讨论。

例7.(2008宁夏区银川一中)如图,边长为的正中线与中位线相交于,已知是绕旋转过程中的一个图形,现给出下列命题,其中正确的命题
有(填上所有正确命题的序号)
(1)动点在平面上的射影在线段上;
(2)三棱锥的体积有最大值;
(3)恒有平面平面;
(4)异面直线与不可能互相垂直;
分析:由于是绕旋转过程中的一个图形,可以转动到特殊位置,需要考虑特殊情况.
解: 不论怎样转动,,(1)(3)正确,(2)不再变化,当高最大时,三棱锥的体积有最大值,即当时, 三棱锥
的体积有最大值也正确,(4)不正确,由三垂线定理知,当在平面内的射影与平行时就一定垂直.
评注:特殊位置法是解决变化的图形的一种策略,要想到一些特殊位置.
例8.(福建省八闽高中)某校高三年级老师到外校参观学习2天,留下6位老师值