文档介绍：§ 二次型的标准形与规范形
一、用配方法化二次型为标准形
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一、用配方法化二次型为标准形
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令
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实对称矩阵A
经过非退化线性替换
二次型 f 化为:
存在可逆矩阵C,使得
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二、用正交替换化二次型为标准形
实对称矩阵A
存在正交矩阵Q,使得
存在正交矩阵Q,使得
QTAQ=
A的所有特征值
实对称矩阵A
经过正交替换
标准形
二次型化为:
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例1 用正交替换化二次型
为标准形,
解二次型对应的矩阵为
特征值:
再将单位化,得
将1,2正交化得
并写出所作的线性替换.
是正交矩阵
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是正交矩阵
经过非退化的线性替换
二次型化为
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例1 考虑二次型
有
称此二次型是正定二次型.
相应的矩阵
为正定矩阵.
设实二次型
f ( x1 , x2 , …, xn ) = XTAX ( AT = A ) ,
如果对任何
则称二次型
A称为正定矩阵.
是正定二次型.
X = ( x1 , x2 , …, xn )T o,有
例1 二次型
对任何
为正定二次型
X = (x1 , x2 , …, xn )T o,
二次型 f ( x1 , x2 , …, xn ) = x12 + x22 + …+ xr2 ( r < n)
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§ 二次型和对称矩阵的有定性
一、正定二次型和正定矩阵
二次型 f ( x1 , x2 , …, xn ) = x12 + x22 + …+ xr2 ( r < n)
对x = ( 0 , …, 0 ,
f (x1 , x2 ,…, xn ) = 0 .
xr+1 , …, xn )T o
,有
故二次型
不是正定二次型.
例1 二次型
为正定二次型
对任何
X = (x1 , x2 , …, xn )T o,
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