文档介绍：空间问题的数学描述
第二章平面问题的基本理论
已知的几何参数和载荷(表面力和体积力),一般都与三个坐标参数x、y、z有关;
15个未知函数— 6个应力分量:
6个应变分量
3个位移分量: u、v、w,
一般都是三个坐标参数x、y、z的函数;
基本方程式是三维的,但若某一方向变化规律为已知时,维数可相应减少。
第二章平面问题的基本理论
平面问题的数学描述
已知的几何参数和载荷(表面力和体积力)只与两个坐标,例如x、y有关,而与z无关;
15个未知函数中只存在有oxy平面内的分量,且只是x、y的函数,其余分量或不存在,或可以用oxy平面内的分量表示;
基本方程式是二维的。
第二章平面问题的基本理论
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
如果所考察的弹性体具有某种特殊的形状,并且承受的是某种特殊的外力,就可以把空间问题简化为近似的平面问题。
平面应力问题
几何形状特征:物体在一个坐标方向(例如z)的几何尺寸远远小于其他两个坐标方向的几何尺寸,如图所示的薄板。
载荷特征:在薄板的两个侧表面上无表面载荷,作用于边缘的表面力平行于板面,且沿厚度不发生变化,或虽沿厚度变化但对称于板的中间平面,体积力亦平行于板面且沿厚度不变。
第二章平面问题的基本理论
因为板面上不受力,所以
由于剪应力互等,有
这样,只有平行于oxy平面的三个应力分量,即
在平面应力问题中,独立的未知函数有8个,
只是x和y的函数,不随z而变化。
注意:
由广义虎克定律得到
平面应变问题
第二章平面问题的基本理论
几何形状特征:物体沿一个坐标轴(例如z轴)方向的长度很长,且所有垂直于z轴的横截面都相同,即为一等直柱体;位移约束条件或支承条件沿z方向也相同。
载荷特征:柱体侧表面承受的表面力以及体积力均垂直于z轴,且分布规律不随z变化。
由于对称(任一横截面都可以看作是对称面),所有各点都只会沿x和y方向移动,而不会有z方向的位移,即
因为所有各点的位移矢量都平行于oxy面,所以称之为平面位移问题面应变问题。
由对称条件可知,
根据剪应力互等,
由虎克定律,得出
第二章平面问题的基本理论
在平面应变问题中,独立的未知函数有8个,
只是x和y的函数,不随z而变化。
注意:由于z方向的伸缩被阻止,所以
由广义虎克定律得到
在弹性力学里分析问题,要从三个方面来考虑:静力学方面、几何学方面和物理学方面。
首先考虑平面问题的静力学方面,根据平衡条件来导出应力分量与体积力分量之间的关系式,也就是平面问题的平衡微分方程。
§ 2-2 平衡微分方程
第二章平面问题的基本理论
根据微元体处于平衡的条件,可以得到三个平衡微分方程。
第二章平面问题的基本理论
(一)作用于体心M的合力矩为零,即
略去微量,整理,得出
证明了剪应力互等定理。
(二)x方向的合力为零,即
第二章平面问题的基本理论
整理后,得
(三)y方向的合力为零,即
类似于上式,可得
平面问题的平衡微分方程
x方向PA的正应变
第二章平面问题的基本理论
§ 2-3 几何方程
y方向PB的正应变
几何方程表明了应变分量与位移分量之间的关系。