文档介绍：非线性有限元 第5章本构模型
计算固体力学
第5章本构模型
引言
应力-应变曲线
一维弹性
非线性弹性(超弹性)
一维塑性
多轴塑性
超弹-塑性模型
粘弹性
应力更新算法
连续介质力学与本构模型
1 引言
本构方程率形式的积分算法称为应力更新算法(也称为本构更新算法),包括:
径向返回算法的一类图形返回算法,
算法模量与基本应力更新方案一致的概念,
大变形问题的增量客观应力更新方案,
基于弹性响应的应力更新方案,自动满足客观性的超弹性势能。
为了进行分析,选择材料模型是很重要,往往又不是很明确,仅有的信息可能是一般性的知识和经验,即可能是材料行为的几条应力-应变曲线。
在有限元软件库中选择合适的本构模型,如果没有合适的本构模型,要开发用户材料子程序。重要的是理解本构模型的关键特征,创建模型的假设,材料、荷载和变形域、以及程序中的数值问题是否适合模型。
2 应力-应变曲线
材料应力-应变行为的许多基本特征可以从一维应力状态(单轴应力或者剪切)的一组应力-应变曲线中获得,多轴状态的本构方程常常基于在试验中观察到的一维行为而简单生成。
载荷-位移曲线
名义应力(工程应力)给出为
定义伸长
工程应变定义为
2 应力-应变曲线
Cauchy(或者真实)应力表示为
以每单位当前长度应变的增量随长度的变化得到另一种应变度量
对数应变(也称为真实应变)
对材料时间求导,表达式为
一维情况,上式为变形率
当前面积的表达式给出为
真实应力-应变曲线
工程应力-应变曲线
2 应力-应变曲线
考虑一种不可压缩材料(J=1),名义应力和工程应变的关系为
真实应力(对于不可压缩材料)
说明了对于本构行为应用不同泛函表达式的区别,对于同样材料取决于采用何种应力和变形的度量。
应力-应变曲线的显著特征之一是非线性的度。材料线弹性行为的范围小于应变的百分之几,就可以采用小应变理论描述。
2 应力-应变曲线
应力-应变反应与变形率无关的材料称为率无关;否则,称为率相关。名义应变率定义为
率无关和率相关材料的一维反应
因为和
即名义应变率等于伸长率,例如
可以看出,对于率无关材料的应力-应变曲线是应变率独立的,而对于率相关材料的应力-应变曲线,当应变率提高时是上升的;而当温度升高时是下降的。
2 应力-应变曲线
对于弹性材料,应力-应变的卸载曲线简单地沿加载曲线返回,直到完全卸载,材料返回到了它的初始未伸长状态。然而,对于弹-塑性材料,卸载曲线区别于加载曲线,卸载曲线的斜率是典型的应力-应变弹性(初始)段的斜率,卸载后产生永久应变。其它材料的行为介于这两种极端之间。由于在加载过程中微裂纹的形成材料已经损伤,脆性材料的卸载行为,当荷载移去后微裂纹闭合,弹性应变得到恢复。卸载曲线的初始斜率给出形成微裂纹损伤程度的信息。
(a)弹性,(b)弹-塑性,(c)弹性含损伤
3 一维弹性
弹性材料的基本性能是应力仅依赖于应变的当前水平。这意味着加载和卸载的应力-应变曲线是一致的,当卸载结束时材料恢复到初始状态。称这种应变是可逆的。而且,弹性材料是率无关的(与应变率无关)。弹性材料的应力和应变是一一对应的。
小应变
可逆和路径无关默认在变形中没有能量耗散,在弹性材料中,储存在物体中的能量全部消耗在变形中,卸载后材料恢复。
对于一维弹性材料,可逆、路径无关、无能量耗散是等价的特征。
对于二维和三维弹性,以及超弹性材料,也类似。
对于任意应变,不管如何达到应变值,上式给出唯一应力值。
3 一维弹性
应变能一般是应变的凸函数,例如,
(a)凸应变能函数(b)应力应变曲线
当公式的等号成立。
凸应变能函数的一个例子如图所示。在这种情况下,函数是单调递增的,如果w 是非凸函数,则 s 先增后减,材料应变软化,这是非稳定的材料反应, 如右下图。
(a)非凸应变能函数(b)相应的应力应变曲线