文档介绍：模型一
一块热的物体,如果体内没一点的温度不全一样,则在温度较高的点处的热量就要向温度较低的点处流动,,所以解决传热问题都要归结为求物体内温度的分布,,如下:
(1)
如果我们考虑稳恒温度场,即在热传导方程中物体的温度趋于某种平衡状态,这时温度已与时间无关,所以=0,此时方程1就变成拉普拉斯方程,如下:
=0 (2)
由此可见稳恒温度场内的温度也满足拉普拉斯方程.
作为描述稳定和平衡等物理现象的拉普拉斯方程,它不能提初始条件,至于边界条件,我们认为当烤盘的温度趋于某种动态平衡状态时,其边界上的热量流速是一定的,故满足第二类边值问题,即Neumann问题.
在二维平面内,当烤盘为圆形时,问题归结为圆域内二维拉普拉斯方程的定解问题,,圆的半径为,温度用表示,问题可以表示为:
(3)
我们假设热量在满足Dirichlet问题条件,得出边界条件:
(4)
(5)
modle two-the best type of pan
二、模型二
(一)烤箱中烤盘的最大数量
当考虑不同形状的烤盘在烤架上的排列问题时,我们结合实际情况,分别考虑烤盘是正方形,正六边形,正八边形,以及圆形的情形。在这里我们假设烤炉的宽为W,长为L,且有W/L=μ,设正多边形边长为X,而对于圆来说,X则是其半径。
对于此问题,我们分两步来描述烤盘中数量的最大化。
首先我们分别求解烤箱长边L和宽W边最多所能容纳的正多边形的边长个数p和m,于是整个烤箱平面可以容纳的烤盘数量为
N=p*m
然后,我们再计算多边形在烤箱平面中的占用率(Q),从而进一步描述何种多边形在烤箱平面中是利用率最高的,也就是最有效的形状。
正方形的分布
在一个长方形烤炉内,正方形的烤盘可以像图中那样排列,
正方形边长为X,因此,每个烤盘的面积为:
X2=A,
对于烤炉平面的每边来说,长边可以容纳正方形的边长数量为:a=[],宽边容纳正方形的边长为:b=[],“[ ]”表示取整运算。于是,我们得到烤箱平面内最多可以容纳的正方形烤盘数量为: N=[][]=ab。
我们计算下正方形烤盘的占用率问题:

X
我们假设烤箱平面填充四个烤盘,全部填满,没有空隙,则烤箱平面的面积为A1=L*W=,而每个烤盘的面积为A,全部填满后,N=ab=4,其占用率为:Q=*100%=100%.
X
正六边形的分布
根据上面假设,烤箱平面长为L,宽为W,
烤箱平面长边容纳正六边形边长的个数:
m=[],
宽边容纳正六边形边长的个数:
p=2[]=2[],
则烤箱平面可以容纳正六边形的数量为:
N=m*p=2[] []=2[]=2[]
我们再计算其占用率Q:
Q==.
(3)正八边形的分布
对于正八边形:
m=[],
p=[],
于是:N=mp=[][]=[tan()],
因此:Q=.
(4)圆形的分布

对于圆形烤盘的分布:每个圆形烤盘的半径为X,显然图二中的排列数目比图一中数目多。
m=2[],
P=[],
N=mp=2[]=