文档介绍：课题:极化恒等式在向量问题中的应用
学<br****br/>目
标
目标1:通过自主学****掌握极化恒等式两种模式,理解其几何意义;
目标2-1:通过对例1的自主学****掌握用极化恒等式求数量积的值;
目标2-2:通过对例2的自主学****掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围;
目标2-3:通过小组合作学****掌握极化恒等式解决与数量积有关的综合问题。
重点
掌握极化恒等式,利用它解决一类与数量积有关的向量问题
难点
根据具体的问题情境,灵活运用极化恒等式
目标达成途径
学****自我评价
目标1:阅读材料,了解极化恒等式的由来过程,掌握极化恒等式
的两种模式,并理解其几何意义
阅读以下材料:
M
图1
(1)
(2)
(1)(2)两式相加得:
结论:平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.
思考1:如果将上面(1)(2)两式相减,能得到什么结论呢?
=————极化恒等式
对于上述恒等式,用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例,你觉得极化恒等式的几何意义是什么?
几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.
即:(平行四边形模式)
思考:在图1的三角形ABD中(M为BD的中点),此恒等式如何表示呢?
因为,所以(三角形模式)
目标2-1:掌握用极化恒等式求数量积的值
A
B
C
M
例1.(2012年浙江文15)在中,是的中点,,则____ .
解:因为是的中点,由极化恒等式得:
=9-= -16
【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时,关键在于取第三边的中点,找到三角形的中线,再写出极化恒等式。
目标检测
目标2-2:掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围
解:取AB的中点D,连结CD,因为三角形ABC为
正三角形,所以O为三角形ABC的重心,O在CD上,
且,所以,
(也可用正弦定理求AB)
又由极化恒等式得:
因为P在圆O上,所以当P在点C处时,
当P在CO的延长线与圆O的交点处时,
所以
【小结】涉及数量积的范围或最值时,可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量,再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。
目标检测
问题、疑惑、错解汇集
能力提升
目标2-3:会用极化恒等式解决与数量积有关的综合问题
例3.(2013浙江理7)在中,是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有。则( )
A. B.
C. D.
目标检测
问题、疑惑汇集
知识、方法总结
本课的主要学****内容是什么?
极化恒等式:
平行四边形模型:
三角形模型:
极化恒等式在处理与_________________有关问题时,显得较有优越性。
课后检测
,若,,在线段上运动,的最小值
为
,长为2,是圆上异于的一点,是圆所在平面上任意一点,则的最小值为( )
A. B. C. D.
,,,,若是所在平面内一点,且,则的最大值为
4. 若点和点分别是双曲线的中心和左焦点,点为双曲线右支上任意一点则的取值范围是.
,,已知点是内一点,则的最小
值是.
,为圆心,且是圆的一条直径,点在圆内,且满足,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 正边长等于,点在其外接圆上运动,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
,已知,,则的取值范围是.