文档介绍：§ Gauss求积公式/*Gauss Quadrature Formula */
Newton—Cotes求积公式中的求积节点是等距选取的,求积系数计算方便,但代数精度要受到限制;
积分公式的一般形式:
插值型的求积公式至少有n次代数精度,至多有多少次的代数精度?
如何适当选取求积节点和求积系数,使求积公式达到最高的代数精度?
一、 Gauss积分问题的提法
为了提高代数精度,需要适当选择求积节点:
①当求积节点个数确定后,不管这些求积节点如何选取,求积公式的代数精度最高能达到多少?
②具有最高代数精度的求积公式中求积节点如何选取?
积分公式的一般形式:
个求积节点, 个求积系数,共个未知量,需要个方程,因此可以取使公式精确成立,从而求出求积节点和系数。
只需证明:对于上述插值型求积公式,存在一个
2n+2次多项式,使得求积公式不能精确成立。
形如
的插值型求积公式的代数精度最高不超过2n+1次。
证明:
令
因为
而
故求积公式不能精确成立。
下面讨论一般积分形式:
其中为权函数
构造积分公式(*)
具有2n+1次代数精度。
其中
求积节点
求积系数
与被积函数无关
如果一组节点,使得
上述插值型求积公式具有2n+1次代数精度,则称该组节点为Gauss点,相应的公式为Gauss型求积公式。
求积系数的特征:
五点的Gauss求积公式具有多少次代数精度?
例1:构造下列积分的Gauss求积公式:
例题:
分析:因为n=1,所以Guass求积公式具有3次代数精度。分别取, 得到关于的方程组,求解非线性方程组得到求积系数和求积节点。
2n+2个未知数, 2n+2个方程的非线性方程组
由代数精度定义,当时,
求积公式精确成立:
问题:如何计算Gauss点及求积系数?
方法一:从代数精度的定义出发,求解非线性方程组;
方法二:两步走
问题:如何计算Gauss点及求积系数?
1. 先确定Gauss求积节点
2. 计算求积系数
①从代数精度的定义出发,求解线性方程组;
或②用系数的表达式直接计算。
二、 Gauss求积公式的性质
 Gauss求积公式存在的条件
插值型求积公式(*)的节点
是Gauss点的充要条件是以这些节点为零点的多项式
与任何不超过n次的多项式带权正交:
证明:
必要性
设
则
因为
是Gauss点
充分性
对于
其中
即求积公式(*)对一切不超过2n+1次的多项式精确成立
所以节点是Gauss点
上述定理表明: 上带权的n+1次正交多项式
的零点就是求积公式(*)的Gauss点