文档介绍：§4 最大公因式
§5 因式分解
§6 重因式
§10 多元多项式
§11 对称多项式
§3 整除的概念
§2 一元多项式
§1 数域
§7 多项式函数
§9 有理系数多项式
§8 复、实系数多项式
的因式分解
第一章多项式
一、公因式最大公因式
二、最大公因式的存在性与求法
§ 最大公因式
三、互素
四、多个多项式的最大公因式
i)
:
若
满足:
且
:
若
满足:
ii) 若, 且,则
则称为的最大公因式.
则称为的公因式.
一、公因式最大公因式
①的首项系数为1的最大公因式记作:
注:
②, 是与零多项式0的最
大公因式.
③两个零多项式的最大公因式为0.
④最大公因式不是唯一的,但首项系数为1的最大
公因式是唯一的.
若为
的最大公因式,则,c为非零常数.
若不全为零,则
二、最大公因式的存在性与求法
若等式成立,则
与有相同的公因式,从而
.
引理:
能否把求的最大公因式的问题转化为求两个次数较低的多项式的最大公因式的问题呢?
思考:
若,用去除得到
由引理,
与有相同的最大公因式
猜想:能不能反复地利用带余除法及引理不断地降低多项式的次数来求最大公因式呢?
定理2 对,在中存在
一个最大公因式,且可表成
的一个组合,即,使
.
若有一为0,如,则
考虑一般情形:
用除得:
其中或.
若,用除,得:
证:
若,用除,得
如此辗转下去,显然,所得余式的次数不断降低,
因此,有限次后,
其中或.
即
于是我们有一串等式