文档介绍：传热与流体流动的数值计算
[美] . 帕坦卡著
同济大学机械工程学院
朱彤
第六章流场的计算
6-1 制订一个特殊程序的必要性
主要的困难
计算速度场真正的困难在于未知压力场。
压力梯度构成动量方程中源项的一部分,然而还没有一个可以用来求得压力场的明显方程。
以涡量为基础的方法
二维问题中,通过交叉微分从两个动量方程中消去压力,就可以导出一个涡量输运方程。
把涡量的定义与二维稳态情况下的流函数定义相结合就是“流函数/涡量法”。
优点:压力消失了,代替处理连续性方程和两个动量方程问题,只需解两个方程求得流函数和涡量。
缺点:壁面上的涡流量值很难给定;由涡量求出压力;此方法不能外推到三维情况。
6-2 某些有关的困难
压力项积分
P
W
E
x
w
e
Dx
(dx)w
(dx)e
一维压力梯度项的表达
p
x
P
W
E
w
e
pp
pw
pE
中心差分格式
意味着动量方程包含两个相间而不是相邻的网格点之间的压力差。效果上讲,压力取的是较实际所采用的网格粗的网格上的值。
另外,假设压力场用网格点处的压力值表示。动量方程对这样一个波形的压力场的“感受”竟然与对均匀的压力场的“感受”一样!
压力梯度项的表达
二维情况
图中所示压力场不会在x或y方向产生合力。于是一个高度不均匀的压力场就被动量方程的这种特殊离散形式处理成为一个均匀的压力场。由于动量方程对于这样一种不均匀的压力场毫无反应,所以一旦在迭代求解过程中形成这样的压力场,它就会一直保留到解完全收敛为止。
注:图中采用的实际数字不具有任意特殊意义,只表示一个可由任何任意数字构成的图形而已。
积分连续性方程
P
W
E
x
w
e
Dx
(dx)w
(dx)e
离散化的连续性方程要求相间点而不是相邻点上的速度相等。
其结果是完全不合乎实际速度场却满足离散化连续方程。在二、三维情况下,对所有速度分量都可以构成类似分布图形,速度分量满足连续性方程但却不能认为是合理的或有意义的解。
把速度分量放在与所有其它变量不同的网格上
采用交错网格时,速度分量是对位于控制容积表面上的点进行计算的。
6-3 一种解决困难的妙法——交错的网格
交错网格的直接结果是:无需对有关的速度分量进行任何内插运算,就可以计算出通过控制容积表面的质量流量。
优点:
对于典型的控制容积,离散化的连续性方程将含有相邻速度分量的差,,只有“合理”的速度场才有可能满足连续性方程;
两相邻的网格点之间的压力差现在成了位于这两个网格点之间的速度分量的自然驱动力。
代价
计算机程序必须提供有关速度分量位置的全部指令值和几何信息;
进行相当冗长的内插。
如果压力场已知,就可以应用对通用变量所推得的公式求得动量方程的解。采用交错网格使离散化动量方程与主网格点处计算的其他变量φ略有不同。
x方向动量方程的一个交错的控制容积如图。
差值pP-pE可以用来计
算作用在速度u的控
制容积上的压力合力。
6-4 动量方程
计算图示u的控制容积面上的扩散系数与质量流量时需要进行适当内插,所得离散化方程可以写成: