文档介绍：第5章功率谱估计
经典谱估计
自回归模型法
最大熵谱估计
AR模型参数的求解
频域分析又称谱分析,对于确定性信号,可直接对信号进行傅立叶变换求得其幅度频谱。数字处理中可用快速傅立叶变换(FFT)求得。但是对于一个无始无终的平稳随机信号,它的能量是无限的,其傅立叶变换是不存在的,因而不能求得这种信号的频谱。所以,一个随机信号的频谱在数学上是不存在的,但它的功率谱是存在的,因此我们可以用功率谱来表征一个随机过程的谱特性。根据维纳-辛钦定理,广义平稳随机过程的功率谱是自相关函数的傅立叶变换,因此对于一个观察到的随机信号,重要的是确定它的功率谱密度函数(PSD)和自相关函数。
在实际应用中,可以利用的观察数据往往是有限的,所以要准确计算功率谱是不可能的,我们只能通过一个好的估计来得到。至于怎样得到好的估计,这就是这一章里我们要研究的内容。
经典谱估计
经典谱估计方法实质上就是传统的傅立叶分析法,包含有BT PSD估计法和周期图法。
BT PSD估计法
对于均值为零的平稳随机信号,其功率谱密度函数与自相关函数是一对傅立叶变换对,即
(5-1)
BT PSD估计法是1958年由Blackman与Tukey提出的,它首先是通过(4-46)对自相关函数进行估计,然后对进行傅立叶变换得到功率谱估计值,即
(5-2)
上式中为功率谱密度函数,简写成PSD。
由于这种方法是将功率谱用有限个自相关函数值的傅立叶变换代替无限个自相关函数值的傅立叶变换求得的,这相当于将无限序列乘上了一个矩形窗函数,这样必将使谱分辨率大大降低。
周期图法
对于平稳随机信号,根据各态历经假设,集合的平均可以用时间的平均代替,于是有
(5-3)
代入式(5-1)得
令上式可写成
(5-4)
实际上,式(5-4)在时是不可能收敛的,这是因为对于无限时域的随机信号,它的傅里叶变换是不存在的。
对于随机信号的有限个样本序列,由式(5-4)可得到功率谱密度的一个估计为
(5-5)
这里, 是的离散傅立叶变换,即
(5-6)
显然,是周期的,由式(5-5)所得到的功率谱估计称为周期图,并用表示,即
(5-7)
周期图法都是用获得的 N个数据对随机信号进行谱估计可利用FFT 进行计算,因而有计算效率高的优点,在谱分辨率要求不高的地方可用这种方法进行谱估计,但它又一个突出的缺点就是谱分辨率低。因为周期图法隐含着对无限长数据在时域加了一个长度为N的矩形窗。时域中与矩形窗函数的相乘对应于频域中与矩形窗频谱相卷积,所以估计谱就相当于真实谱与矩形窗频谱相卷积的结果。矩形窗频谱为
(5-8)
图5-1矩形窗频谱的幅度函数
它的频谱图如图5-1所示。得到的功率谱估计是它与真实功率谱的卷积,由于它与函数比较有二方面的差别,一是主瓣不是无限窄、二是有旁瓣,因此卷积的结果必然造成失真。
由于主瓣不是无限窄的,与主瓣卷积后使功率向附近频域扩散,使信号模糊,降低了分辨率,主瓣愈宽分辨率愈差,如图5-2所示。图5-2(a)是真实谱的两个峰;(b)矩形窗谱与真实谱得卷积结果;(c)是两个峰离得比较远的情况,此时原峰还能分辨;(d)是两个峰离得比较近的情况,此时无法分辨出两个峰的位置。
由于矩形窗谱存在旁瓣,也将产生两个结果,其一是PSD主瓣内的能量,一是功率谱主瓣内的能量“泄漏”到旁瓣使谱估计的方差增大,二是与旁瓣卷积后得到的功率谱完全属于干扰。严重情况下,强信号与旁瓣的卷积可能大于弱信号与主瓣的卷积,使弱信号淹没在强信号的干扰中而无法检测出来。
图5-2 谱分辨率示意图
(a) 真实谱的两个峰; (b)矩形窗谱与真实谱的卷及结果;
(c)原峰离得较远的情况; (d)原峰离得较近的情况
对于BT PSD谱估计法,由于它是按式(5-2)将功率谱用有限个自相关函数的傅立叶变换得到的,这相当于将序列乘上了一个矩形窗函数,因此也存在周期图法同样的缺点。为了减少泄漏和提高谱估计的分辨率,改善窗函数的形状是必要的,但是发现,所有能降低旁瓣的窗口函数都是以主瓣的增宽为代价的,反之亦然。这两个缺点只能互换而不能同时改善。因此用经典法无法克服分辨率低的缺点。
可以证明,周期图法是不满足一直估计的条件。即当时, 的方差趋于。所以必须对周期图法做进一步的改进,使其满足一致估计的条件。改进周期图的主要方法是平滑或平均。
巴特利特(Bartlett)平均周期图的方法
这种方法是将截取的数据段再分成L个小段,分别计算周期图后取周期图的平均。因为L个平均的方差比随机变量单独的方差小L倍。
将序列分成L段,每段有M个点,因而,第段可写成
(5-9)
第段的周期图为
谱估计可定义为L段周期图的平均,