文档介绍：第6章维纳滤波器和卡尔曼滤波器
离散维纳滤波器的时域解
离散维纳滤波器的域解
维纳预测器
卡尔曼(Kalman)滤波器
在实际应用中,有用信号往往会受到一些外界干扰,我们实际观察到的是受到噪声干扰了的信号。如何最大限度地抑制噪声,并将有用信号分离出来,是信号处理中经常遇到的问题。例如,在传输或测量信号时,由于信道噪声或者测量噪声,接收或测量到的数据将与不同。设噪声是加性的,即
如果和的频谱是分离的,那么设计一个具有恰当频率特性的线性滤波器即能有效地抑制噪声并提取信号,这就是前面经典数字信号处理理论中详细讨论过的数字滤波器的设计问题。但是如果和的频谱互相重叠,或者和是随机信号,它们的频谱根本就不存在,问题就要复杂得多,这就是本章要讨论的内容。
为了从中提取或恢复原始信号,需要设计一种滤波器,对进行滤波,使滤波器的输出尽可能地逼近,成为的最佳估计,即。这种滤波器称为最佳滤波器。一般而言,这是信号的最佳估计问题。所谓最佳,使以一定的准则来衡量的。通常有四种准则:最大后验准则;最大似然准则;均方准则;线性均方准则。采用不同的最佳准则,估计得到的结果可能不同。
维纳滤波器和卡尔曼滤波岂都是最佳滤波器,其最优准则是最小均方误差准则。维纳滤波器是根据当前和过去的观察值对当前的信号值进行估计,这是一个估计问题,估计问题按照不同情况可以分为以下三种。
滤波(或过滤)。根据当前和过去的观察值
对当前的信号值进行估计,使。
预测(或外推)。根据过去的观察值估计当前或未来的信号值,使,其中。
内插(或平滑)。根据过去的观察值过去的信
号值,使,其中。
维纳滤波器最初是一个线性时不变系统,最初是对连续时间信号以模拟滤波器的形式出现的,在这里我们只讨论离散维纳滤波器。设维纳滤波器的单位脉冲响应为,其输入信号为,输出信号。如图6-1所示。
一个因果系统, 必须是一个因果序列,即
由图6-1可知
(6-1)
是对信号的最佳估计,用表示估计误差,则。
可以看成是均值为零的随机变量,其方差就是估计的均方误差。设计维纳滤波器过程就是寻求使
(6-2)
最小的滤波器单位脉冲响应或系统函数的表达式。
为了讨论方便,令则
(6-3)
式(6-1)可写成
(6-4)
于是
(6-5)
现在的问题是需要求的使最小的,将上式对各求偏导数,并令其等于零,得
(6-6)
即
(6-7)
上式说明,均方误差达到最小值的充要条件是误差信号
与任一进入估计的输入信号正交,这就是数学上的正交性原理。也就是说满足正交性原理与满足最小均方误差的条件是等价的。
将式(6-3)代回式(6-6)中,得
(6-8)
即
(6-9)
或
(6-10)
上式称为维纳-霍夫(Wiener-Hopf)方程。从维纳-霍夫方程中解出,它就是在最小均方误差下的最佳
。设是一个长度为N因果序列(即是一个长度N为的FIR滤波器),维纳-霍夫方程表述为
(6-11)
分别将代入式(6-11),得
(6-12)
定义
式(6-12)可以写成矩阵形式,即
(6-13)
对上式求逆。得
(6-14)
上式表明已知期望信号与观测信号的互相关函数
及观测信号的自相关函数时,可以通过矩阵求逆运算,得到维纳滤波器的最佳解。但是,直接从时域求解因果维纳滤波器,当选择的滤波器长度N较大时,计算工作量很大,需要计算机的存储量也很大。如果在计算过程中想增加的长度N来提高逼近程度时,就需要的新N的基础上重新进行计算。因此,最小均方误差下的维纳滤波器,在时域里求解其FIR滤波器并不是一个有效的方法。
FIR维纳滤波器的均方误差
下面让我们来研究FIR维纳滤波器的最小均方误差
。由式(6-2)得
(6-15)
可以看出,均方误差与滤波器的单位脉冲响应是一个二次函数关系。