文档介绍：计算流体力学讲义
第九讲有限体积法(1)
李新亮
******@imech. ;力学所主楼219; 82543801
知识点:
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有限体积法的基本概念——重构和反演
迎风型有限体积法——Riemann求解器;Roe格式的新理解:近似Riemann解
多维迎风型有限体积法——坐标旋转
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知识回顾
1. 差分方法的基本概念:
差分格式、修正方程、相容性、收敛性、稳定性、LAX等价定理
2. 精度分析、稳定性分析与分辨率分析(修正波数)
Taylor分析
Fourier分析
修正波数
激波捕捉格式
GVC, NND, Roe, Godnov, MUSCL, TVD, WENO
Euler (N-S) 方程的通量分裂
逐点分裂、特征投影分裂(建议使用Roe平均)
5. 隐格式求解的LU-SGS方法
要点: a. 引入差量,方程线性化
b. 单边差分,隐式代数方程显式(推进)化
以一维为例,多维可直接推广
方法1:直接隐式离散
直接求解
非线性方程组,计算量大
方法2
差量化
线性化
已知项
线化微分方程
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求解思路:如果直接离散,得到线性代数方程组,仍需求解,计算量大(多维情况)
如果能单侧差分就好解了!
多对角方程组,不好解(多维情况)
中心(双侧)离散
如果单侧离散
单侧离散,可推进求解,免受解方程组之苦。真简单
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可是,A有正有负,无法单侧差分化
还是个三对角的
奇思妙想:如果分成两个子步,各自用单侧值,就简单多了
强行单侧差分会不稳定的
近似LU分解
Step 1:
近似LU分解
Step 2:
均为递推求解(两次扫描),免受解方程组之苦
j -1 -> j
j+1> j
以上描述适用于求解定常问题,求解非定常问题该过程可用于内迭代。
迭代收敛后q趋于0,精度由右端项决定
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§ 有限体积法入门
有限体积法主要优势: 处理复杂网格
差分法处理复杂外形——坐标变换
坐标变换函数必须足够光滑——否则损失精度
实际问题: 外形复杂, 光滑的结构网格生成困难
差分法
有限体积法
优点
简单、计算量小、易于提高精度
本身包含几何信息,易处理复杂网格
不足
差分离散与几何解耦,难以处理复杂网格
复杂、不易提高精度
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有限体积法的基本概念
实质: 把几何信息包含于离散过程中
虽然简单,但有助于建立基本概念
j-1 j j+1
j-1/2 j+1/2
1. 全离散型过程
含义: f在j+1/2点的值
(注意与差分法的区别)
在控制体上积分原方程
定义:
空间平均
时间平均
精确推导,不含误差
提示:
为区间内的空间及时间平均值,如果把它们理解为某点的值,会产生误差
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积分(精确)
重构(Reconstruction)
有限差分法的离散:数值微分过程
有限体积法的离散:数值积分过程
积分方程
离散化
反演(evolution)
(1) 重构过程
A. 零阶重构,假设分片常数
j-1
B. 线性重构,假设分片线性函数
零阶重构与一阶重构示意图
j
j+1
or
or
或其他方法
C. 更高阶的重构例如: 分片二次函数(PPM), WENO等
重构是有限体积的空间离散化过程,有多种方法
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(2) 演化过程(以线性方程为例)
需要得知时间演化信息,通常利用特征方程
若采用零阶重构:
则:
假设时间步长足够小
则方程为:
等价于一阶迎风差分
Riemann解
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若采用线性重构
若
Warming-Beam
Lax-Wendroff
0阶重构—— 1阶精度
线性重构—— 2阶精度
一维均匀网格的有限体积法等价于有限差分法
Euler方程:
演化过程可通过Rie