文档介绍：矩阵的初等变换与线性方程组的求解
理论内容
应用举例
1. 矩阵的初等变换解线性方程组
1. 利用初等变换求整数的最大公因数
2. 利用初等变换解线性不定方程
2. 矩阵的初等变换解矩阵方程
3. 矩阵的初等变换在求特征值与特征向量的应用
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若阶梯形矩阵Bm×n还满足:
(1)B的任一非零行的第一个非零元(每一
行的首非零元或主元)均为1;
(2)B的首非零元所在的列的其它元素均
为0.
则称Bm×n为行最简形矩阵。
结论:任何矩阵都可以通过行初等变换化
为阶梯形,并进而化为行最简形(行最简
形唯一)。
理论内容
1. 矩阵的初等变换解线性方程组
给出单位填充矩阵的概念之后,通过对
线性方程组的系数矩阵(或增广矩阵)进行
初等变换,直接得出其基础解系或一般解。
定义1:对于m×n阶行最简形矩阵B,按以
下方法构造s×n矩阵C: 对任一 i: 1≤i≤s
(1≤s≤n),若B的某个首非零元位于第i列,则
将其所在的行称为C的第i行,否则以n维单位
向量ei =(0, …,0,-1,0, …,0)作为C 的第i行,称
C为B的s×n单位填充矩阵。
显然,单位填充矩阵的主对角线上的元素是“1”
或“-1”,若主对角线上某一元素为“-1”,则该
元素所在的列之列向量称为C的“J-列向量”。
定义2: 设B为最简形矩阵,若B的单位填充矩阵C的任一“J-列向量”均为以B为系数矩阵的齐次线性方程组
b11 x1+b12x2+…+b1nxn=0
b21x1+b22x2+…+b2nxn=0
……………
bm1x1+bm2x2+…+bmnxn=0
(1)
的解向量,则称C与B是匹配的(亦称B与C是匹配的)
引理1 设B为m×n行最简形矩阵,若将B
的第i列与第j列交换位置所得矩阵B′仍为行
最简形,则
(1)将B的s×n单位填充矩阵C的第i行与
第j行交换位置所得矩阵C′即为B′的s×n
单位填充矩阵,其中max{i,j} ≤s。
(2)若C与B是匹配的,则C′与B′也是
匹配的。
则由B与B′的关系可知对方程组(1)进行变量代换:
x1=y1 , …, xj=yj , …, xn=yn
就得到方程组(2),于是方程组(1)的任一解向量交换i,j两个分量的位置就是方程组(2)的一个解向量。又从C与C′的关系可知, C′的任一“ J-列向量”均可由C的某一“J-列向量”交换i,j 两个分量的位置后得到,又由C与B是匹配的知,C′与B′也是匹配的.
引理1 任一n×n行最简形矩阵B与其n×n 单
位填充矩阵C是匹配的。
证明: 1. 设
则以B为系数矩阵的其次线性方程组为: