文档介绍：矩阵的初等变换与线性方程组的求解理论内容应用举例 1. 矩阵的初等变换解线性方程组 1. 利用初等变换求整数的最大公因数 2. 利用初等变换解线性不定方程 2. 矩阵的初等变换解矩阵方程 3. 矩阵的初等变换在求特征值与特征向量的应用起点中文阅读形矩阵 B m×n还满足: (1)B的任一非零行的第一个非零元(每一行的首非零元或主元)均为 1; (2) B m×n为行最简形矩阵。结论: 任何矩阵都可以通过行初等变换化为阶梯形,并进而化为行最简形(行最简形唯一)。理论内容 ,通过对线性方程组的系数矩阵(或增广矩阵)进行初等变换, 直接得出其基础解系或一般解。定义 1: 对于 m×n 阶行最简形矩阵 B ,按以下方法构造 s×n 矩阵 C: 对任一 i:1≤i≤s (1≤s≤n) ,若 B 的某个首非零元位于第 i 列,则将其所在的行称为 C 的第 i 行,否则以 n 维单位向量 e i =( 0, …,0,- 1,0, …,0) 作为 C 的第 i 行,称 C为B的s×n单位填充矩阵。显然,单位填充矩阵的主对角线上的元素是“1”或“-1”,若主对角线上某一元素为“-1”,则该元素所在的列之列向量称为 C的“J- 列向量”。定义 2:设B为最简形矩阵,若 B的单位填充矩阵 C的任一“J-列向量”均为以 B为系数矩阵的齐次线性方程组 b 11 x 1 +b 12x 2+ …+b 1nx n=0b 21x 1 +b 22x 2+…+b 2nx n=0…………… b m1x 1 +b m2x 2+…+b mnx n=0 (1) 的解向量,则称 C与B是匹配的(亦称 B与 C是匹配的) 引理 1设B为m×n行最简形矩阵,若将 B 的第 i列与第 j列交换位置所得矩阵 B ′仍为行最简形,则(1)将 B的s×n单位填充矩阵 C的第 i行与第j行交换位置所得矩阵 C′即为 B′的s×n 单位填充矩阵,其中 max { i,j}≤s。(2)若 C与B是匹配的,则 C′与B′也是匹配的。证明: 结论(1) 显然,下证(2) ,因为 C与 B是匹配的,故 C只能是 n ×n矩阵, 从而 C′也是 n ×n矩阵,设以 B为系数矩阵的方程组为(1) ,以 B′为系数矩阵的方程组为 b 11 ′y 1 +b 12 ′y 2+ …+b 1n ′y n=0b 21 ′y 1 +b 22 ′y 2+ …+b 2n ′y n=0…………… b m1 ′y 1 +b m2 ′y 2+ …+b mn ′y n=0 (2) 则由 B与B ′的关系可知对方程组(1) 进行变量代换: x 1 =y 1, …, x j =y j , …, x n =y n 就得到方程组(2) ,于是方程组(1) 的任一解向量交换 i,j两个分量的位置就是方程组(2) 的一个解向量。又从 C与C ′的关系可知, C ′的任一“J-列向量”均可由 C的某一“J-列向量”交换 i,j 两个分量的位置后得到,又由 C与B是匹配的知, C ′与B ′也是匹配的. 引理 1任一 n ×n行最简形矩阵 B与其 n ×n单位填充矩阵 C是匹配的。证明: 1. 设 1, 1 1, 2 1 2, 1 2, 2 2 , 1 , 2 1 0 0 0 1 0 (3) 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r n r r n r r r r rn n n b b b b b b B b b b ? ?? ?? ???? ?? ?? ???? ?? ?? ?? ??? ?? ?? ?? ?? ??? ?? ?? ?? ??