文档介绍：2011年备考最新数学压轴题之五
1.(分12分)
各项都为正数的数列,满足
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)证明对一切恒成立.[来源
解:(Ⅰ)∵,∴为首项为1,公差为2的等差数列,………2分
∴,又,则…………5分
(Ⅱ)只需证:
.
当=1时,左边=1,右边=1,所以命题
成立.
当=2时,左边<右边,所以命题成立.…………………7分
②假设=k时命题成立,即,
当n=k+1时,
左边=
. ………8分
.命题成立. …………11分
由①②可知,对一切都有
成立.
方法二:当n=1时,左边=1,右边=1,则命题成立. …………7分
当时,
则∴原不等式成立. …………12分
,且与圆内切.
(Ⅰ)求动圆的圆心的轨迹的方程.
(Ⅱ)以为方向向量的直线交曲线于不同的两点,在曲线上是否存在点使四边形为平行四边形(为坐标原点).若存在,求出所有的点的坐标与直线的方程;若不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ)依题意,动圆与定圆相内切,得|,可知到两个定点、的距离和为常数,并且常数大于,所以点的轨迹为椭圆,可以求得,,,
所以曲线的方程为.……………………5分
(Ⅱ)假设上存在点,使四边形为平行四边形.
由(Ⅰ)可知曲线E的方程为.
设直线的方程为,,.
由,得
,
由得,且,,………7分
则,
,
上的点使四边形为平行四边形的充要条件是,
即
且,
又, ,所以可得,…………9分
可得,即或.
当时,,直线方程为;
当时,,直线方程为
.高☆考♂资♀源€……………………12分
3(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)求函数的单调区间.
(Ⅱ)若上恒成立,求实数的取值范围.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,任意的
解:(Ⅰ)
当时,恒成立,则函数在上单调递增;………2分
当时,由
则,则在上单调递增,在上单调递减. ……4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:当时显然不成立;
当时,
只需即…………….6分
令,
则,函数在上单调递减,在上单调递增.
. 则若在上恒成立,=1. …………8分
(Ⅲ)
,
由得,
由(Ⅱ)得: ,则
,
则原不等式成立. ……………12分