文档介绍：第八章矩阵相似标准形
在上一章中,:对于不相似于对角矩阵的矩阵,有何简洁的相似化简形式?这个问题可用线性变换的方法陈述,本章采用纯矩阵方法解答.
§1 l-矩阵的相抵化简
教学目的通过教学,使学生理解l-矩阵的基本概念,掌握l-矩阵的相抵化简及其标准形.
教学内容
l-矩阵的概念
设F是一个数域,以F[l]中的多项式为元素的m´n矩阵叫做F上的l-矩阵,简称为l-矩阵,记作
,简记为A(l)=( fij(l))mn.
m´n的l-矩阵的全体记作F[l]m´,Fm´nF[l]m´,l--矩阵.
一个l-矩阵中所含多项式的最高次数叫做这个l-矩阵的次数,记作degA(l).若degA(l)=t,则A(l)可表示为
,其中Ai∈F m´n,i=0,1,…,t.
例如
.
由于任意f(l),g(l)∈F[l],则f(l)±g(l),f(l)g(l)∈F[l].所以,可以象F m´n的做法定义l-矩阵的相等,相加,,l-矩阵的运算与F上矩阵的运算有同样的规律.
若A(l)是n阶l-矩阵,则可以与Mn(F)一样定义A(l)的行列式,子式,代数余子式.
同样可以定义m´n的l-矩阵的子块,子式等概念,这里就不重复了.
注意到F上矩阵的秩及初等变换在研究矩阵时起着基本的作用,我们引入
定义1 若l-矩阵A(l)中有一个r(r≥1)阶子式不为零,而所有r+1阶子式(若有的话)全为零,则称A(l)的秩为r,记作rankA(l)=.
当A(l)∈Fmxn时,这里的规定与以前的定义完全一致.
定义2 A(l)∈Mn(F[l])称为可逆的,若有一个n阶l-矩阵B(l),使得
, (1)
适合(1)的矩阵B(l)叫做A(l)的逆矩阵,记为A-1(l).
关于l-矩阵可逆的条件,我们来证明
一个n阶l-矩阵A(l)是可逆的充分且必要条件为行列式|A(l)|是一个非零的数.
证充分性设d=|A(l)|(l)的伴随矩阵adjA(l)也是一个l-矩阵,且
adjadj.
因此,A(l)可逆,且A-1(l)=|A(l)|-1adjA(l).
必要性若A(l)可逆,在(1)的两边取行列式,则|A(l)||B(l)|=|In|=|A(l)|与|B(l)|都是l的多项式,所以由它们的乘积是1推知,它们都是零次多项式,即为非零的数.
l-矩阵的相抵标准形
l-矩阵也可以进行初等变换,即
定义3 以下三种变换统称为l-矩阵A(l)的初等变换:
1)交换矩阵A(l)的任意两行(列);
2)矩阵A(l)的某一行(列)乘以非零的数k(ÎF);
3)矩阵A(l)的某一行(列)的j(l)倍加到另一行(列),其中j(l)∈F[l].
类似于F上矩阵的情形,与上述初等变换相对应的三种初等l-矩阵为:
互换矩阵Pij;倍法矩阵Di(k);消法矩阵Tij((l)).
它们都是可逆l-矩阵,其中
Tij(j (l))-1= Tij(-j (l)),
.
定义3 设A(l)∈F[l]mxn.