高中数学：函数的极值与最值.ppt

文档介绍：第五节函数的极值与最值
一、函数的极值

如果存在
的一个去心邻域,
对于该去心邻域
内的任一点
都有
成立,
则称
是函数
的极大值,
称
为函数
的极大值点.
(极小值)
(极小值点)
的极小值点:
的极大值点:

定理1
若
在
处取得极值,
且
在
处可导,
则
证
不妨设
是极大值.
按定义,
存在去心邻域
使得
对于任意
都有
即:
对于任意
都有
又
由费马引理得:
定义
若
,
则称
是函数
的驻点.
注:
由定理1得:
若
是函数
的极值点,
则
或
不存在.
反之不然.
反例:
但
不是
的极值点.
但
不是
的极值点.

定理2(第一判别法)
设
在
的一个去心邻域
内可导,
且在
处连续.
(1)
若当
由小到大经过
时,
的符号由正变负
则
是极大值.
(2)
若当
由小到大经过
时,
的符号由负变正
则
是极小值.
(3)
若当
由小到大经过
时,
的符号不改变
则
不是极值.
(
)
+
-
是极大值
(
)
-
+
是极小值
(
)
+
+
不是极值
(
)
-
-
不是极值
例1
求
的极值.
解
(1)定义域:
(2)
令
解得
时,
不存在
(3)讨论单调性
-
不
存
在
+
0
-
不
存
在
-
极小值
极大值
非极
值
(4)
极小值:
极大值: