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多元函数微分法及其应用§81多元函数的基本概念一、)的全体即R2RR二元的序实数组(x{(xy)|xyR}就表示坐标平面坐标平面上具有某种性质P的点的集合称为平面点集记作E{(xy)|(xy)具有性质P}例如平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是C{(xy)|x2y2r2}如果我们以点P表示(xy)以|OP|表示点P到原点O的距离那么集合C可表成C{P||OP|r}邻域设P0(x0y0)是xOy平面上的一个点是某一正数与点P0(x0y0)距离小于的点P(xy)的全体称为点P0的邻域记为U(P0即U(P0,){P||PP0|}或U(P,){(x,y)|(xx)2(yy)2}000邻域的几何意义U(P)表示xOy平面上以点P(xy)为中心、>0为半径的圆的内0000部的点P(xy)的全体点P0的去心邻域记作U(P0,)即U(P,){P|0|PP|}00注如果不需要强调邻域的半径则用U(P)表示点P的某个邻域点P的去心邻域000记作U(P0)点与点集之间的关系任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种(1)内点如果存在点P的某一邻域U(P)使得U(P)E则称P为E的内点(2)外点如果存在点P的某个邻域U(P)使得U(P)E则称P为E的外点(3)边界点如果点P的任一邻域内既有属于E的点也有不属于E的点则称P点为E的边点E的边界点的全体称为E的边界记作EE的内点必属于EE的外点必定不属于E而E的边界点可能属于E也可能不属于E精品文档精品文档2精品文档聚点如果对于任意给定的0点P的去心邻域U(P,)内总有E中的点则称P是E的聚点由聚点的定义可知点集E的聚点P本身可以属于E也可能不属于E例如设平面点集E{(xy)|1x2y22}满足1x2y22的一切点(xy)都是E的内点满足x2y21的一切点(xy)都是E的边界点它们都不属于E满足x2y22的一切点(xy)也是E的边界点它们都属于E点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点开集如果点集E的点都是内点则称E为开集闭集如果点集的余集Ec为开集则称E为闭集开集的例子E{(xy)|1<x2y2<2}闭集的例子E{(xy)|1x2y22}集合{(xy)|1x2y22}既非开集也非闭集连通性如果点集E内任何两点都可用折线连结起来且该折线上的点都属于E则称E为连通集区域(或开区域)连通的开集称为区域或开区域例如E{(xy)|1x2y22}闭区域开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域例如E{(xy)|1x2y22}对于平面点集E如果存在某一正数r使得有界集EU(Or)其中O是坐标原点则称E为有界点集无界集一个集合如果不是有界集就称这集合为无界集例如集合{(xy)|1x2y22}是有界闭区域集合{(xy)|xy1}是无界开区域集合{(xy)|xy1}是无界闭区域n维空间设n为取定的一个自然数我们用Rn表示n元有序数组(x1x2nx)的全体所构成的集合即RnRR12nin}R{(xxx)|xRi12Rn中的元素(x1x2nx来表示即x(x12nix)有时也用单个字母xx)当所有的x(i12n)都为零时称这样的元素为Rn中的零元记为0或O在解析几何中通过直角坐标R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应因而Rn中的元素x(x1x2xn)也称为Rn中的一个点或一个n维向量xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量特别地Rn中的零元0称为Rn中的坐标原点或n维零向量为了在集合Rn中的元素之间建立联系在Rn中定义线性运算如下12n12nn中任意两个元素R规定设x(xxx)y(yyy)为Rxy(x1y1x2y2xnyn)x(x1x2xn)这样定义了线性运算的集合Rn称为n维空间Rn中点x(x1x2xn)和点y(y1y2yn)间的距离记作(xy)规定(x,y)(x1y1)2(x2y2)2(xnyn)2显然n123时上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至Rn中元素x(x1x2xn)与零元0之间的距离(x0)记作||x||(在R1、R2、R3中通常将||x||记作|x|)即||x||x12x22xn2采用这一记号结合向量的线性运算便得||xy||(x1y1)2(x2y2)2(xnyn)2(x,y)在n维空间Rn中定义了距离以后就可以定义Rn中变元的极限12n12nn设x(xxx)a(aaa)R如果||xa||0则称变元x在Rn中趋于固定元a记作xa显然xax1a1x2a2xnan在Rn中线性运算和距离的引入使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念可以方便地引入到n(n3)维空间中来例如12nRn是某一正数则n维空间内的点集设a(aaa)U(a){x|xRn(xa)}就定义为Rn中点a的邻域以邻域为基础可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点以及开集、闭集、区域等一系列概念二 多元函数概念例1圆柱体的体积 V和它的底半径 r、高h之间具有关系精品文档精品文档3精品文档V r2h精品文档精品文档4精品文档这里当r、h在集合{(r h)|r>0h>0}内取定一对值 (r h)时V对应的值就随之确定例2一定量的理想气体的压强 p、体积V和绝对温度 T之间具有关系鯢鱗縛縋錈脸护镡禅捞语蕲諫迩繽。精品文档精品文档38精品文档RTV其中R为常数这里当V、T在集合{(VT)|V>0T>0}内取定一对值(VT)时p的对应值就随之确定例3设R是电阻R1、R2并联后的总电阻由电学知道它们之间具有关系RR1R2R1R2这里当R1、R2在集合{(R1R2)|R1>0R2>0}内取定一对值(R1R2)时R的对应值就随之确定定义1设D是R2的一个非空子集称映射fDR为定义在D上的二元函数通常记为zf(xy)(xy)D(或zf(P)PD)其中点集D称为该函数的定义域xy称为自变量z称为因变量上述定义中与自变量x、y的一对值(xy)相对应的因变量z的值也称为f在点(xy)处的函数值记作f(xy)即zf(xy)值域f(D){z|zf(xy)(xy)D}函数的其它符号zz(xy)zg(xy)等类似地可定义三元函数uf(xyz)(xyz)D以及三元以上的函数一般地把定义1中的平面点集D换成n维空间Rn内的点集D映射fDR就称为定义在D上的n元函数通常记为uf(x1x2xn)(x1x2xn)D或简记为uf(x)x(x1x2xn)D也可记为uf(P)P(xx2x)D1n关于函数定义域的约定在一般地讨论用算式表达的多元函数uf(x)时就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域因而对这类函数它的定义域不再特别标出例如函数zln(xy)的定义域为{(xy)|xy>0}(无界开区域)函数zarcsin(x2y2)的定义域为{(xy)|x2y21}(有界闭区域)二元函数的图形点集{(xyz)|zf(xy)(xy)D}称为二元函数zf(xy)的图形二元函数的图形是一张曲面例如zaxbyc是一张平面而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面三多元函数的极限与一元函数的极限概念类似如果在P(xy)P0(x0y0)的过程中对应的函数值f(xy)无限接近于一个确定的常数A则称A是函数f(xy)当(xy)(x0y0)时的极限定义2f(xy)的定义域为DP(xy)是D的聚点如果存在常数A对于任意设二元函数f(P)000给定的正数总存在正数使得当P(x,y)DU(P0,)时都有|f(P)A||f(xy)A|成立则称常数A为函数f(xy)当(xy)(x0y0)时的极限记为limf(x,y)A(x,y)(x0,y0)或f(xy)A((xy)(x0y))精品文档精品文档38精品文档0也记作精品文档精品文档7精品文档limf(P)APP0或f(P)A(PP0)上述定义的极限也称为二重极限f(x,y)(x2y2)sin212limf(x,y)(x,y)(0,0)证因为|f(x,y)0||(x2y2)sin2120||x2y2||sinx21y2|x2y2xy可见>0取则当(x0)2(y0)2即P(x,y)DU(O,)时总有|f(xy)0|limf(x,y)0因此(x,y)(0,0)必须注意(1)二重极限存在是指P以任何方式趋于P0时函数都无限接近于A(2)如果当P以两种不同方式趋于P0时函数趋于不同的值则函数的极限不存在讨论f(x,y)xyx2y20x2y2x2y2函数00在点(00)有无极限?提示当点P(xy)沿x轴趋于点(00)时limf(x,y)limf(x,0)lim00(x,y)(0,0)x0x0当点P(xy)沿y轴趋于点(00)时limf(x,y)limf(0,y)lim00(x,y)(0,0)y0y0当点P(xy)沿直线ykx有limxylimkx2ky2k2x21k2(x,y)(0,0)x2x0x2ykx因此函数f(xy)在(00)处无极限极限概念的推广多元函数的极限多元函数的极限运算法则与一元函数的情况类似limsin(xy)x例5求(x,y)(0,2)解limsin(xy)limsin(xy)ylimsin(xy)limy122(x,y)(0,2)x(x,y)(0,2)xy(x,y)(0,2)xy(x,y)(0,2)四多元函数的连续性定义3设二元函数f(P)f(xy)的定义域为DP(xy)为D的聚点且PD如果0000limf(x,y)f(x0,y0)(x,y)(x0,y0)则称函数f(xy)在点P0(x0y0)连续如果函数f(xy)在D的每一点都连续那么就称函数f(xy)在D上连续或者称f(xy)精品文档精品文档8精品文档是D上的连续函数二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去例6设f(x,y)sinx2证明f(xy)是R2上的连续函数000R00处连续故0时有证设P(xy)由于sinx在x0当|xx||sinxsinx0|以上述作P00)则当P(xy)0)时显然的邻域U(PU(P|f(xy)f(x0y0)||sinxsinx0|2上连续即f(xy)sinx在点P000连续由P0的任意性知sinx作为xy的二元函数在R(xy)证对于任意的P(xy)R2因为000limf(x,y)(x,y)limsinxsinx0f(x0,y0)(x,y)(x0,y0)(x0,y0)所以函数f(x,y)sinx在点P0(x0y0)连续由P0的任意性知sinx作为xy的二元函数在R2上连续类似的讨论可知一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时它们在各自的定义域内都是连续的P(xy)是D的聚点如果函数f(xy)在点P(xy)定义4设函数f(xy)的定义域为D000000不连续则称P0(x0y0)为函数f(xy)的间断点例如f(x,y)xyx2y20x2y2x2y2函数00其定义域DR2O(00)是D的聚点f(xy)当(xy)(00)时的极限不存在所以点O(00)是该函数的一个间断点又如函数zsinx21y21其定义域为D{(xy)|x2y21}圆周C{(xy)|x2y21}上的点都是D的聚点而f(xy)在C上没有定义当然f(xy)在C上各点都不连续所以圆周C上各点都是该函数的间断点注间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点可以证明多元连续函数的和、差、积仍为连续函数连续函数的商在分母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数多元初等函数与一元初等函数类似多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的浓簣妩鮮瘪营籃嵛专签飽潯饺胶緶。xx2y2例如1y2sin(xy)ex2y2z2都是多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域由多元连续函数的连续性如果要求多元连续函数f(P)在点P0处的极限而该点又在此函数的定义区域内则limf(P)f(P0)pp0limxyxy例7求(x,y)(1,2)f(x,y)xy解函数xy是初等函数它的定义域为D{(xy)|x0y0}的某一邻域U(P)D而任何邻域都是区域所以U(P)是f(xP(12)为D的内点故存在P0000精品文档精品文档9精品文档y)的一个定义区域 因此limf(x,y)f(1,2)3(x,y)(1,2)2limf(P)一般地求PP0时如果f(P)是初等函数且P0是f(P)的定义域的内点则f(P)在点P0处连续于是limf(P)f(P)PP00limxy11xy例8求(x,y)(0,0)limxy11lim(xy11)(xy11)lim11xyxy(xy11)xy112解(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)多元连续函数的性质性质1(有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上有界且能取得它的最大值和最小值性质1就是说若f(P)在有界闭区域D上连续则必定存在常数M0使得对一切PD有|f(P)|M且存在P1、P2D使得f(P1)max{f(P)|P D} f(P2)min{f(P)|P D}性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值雛聖鹅诖辁鲔纡还龚攢艫濟籌脛偬。§82 偏导数一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数zf(xy)如果只有自变量x变化而自变量y固定这时它就是x的一元函数这函数对x的导数就称为二元函数zf(xy)对于x的偏导数定义设函数zf(xy)在点(x0y)的某一邻域内有定义当y固定在y而x在x处有增000量 x时 相应地函数有增量f(x0 xy0)f(x0y0)如果极限limf(x0x,y0)f(x0,y0)x0x存在则称此极限为函数zf(xy)在点(x0y0)处对x的偏导数记作精品文档精品文档10精品文档zxx0fxxyy0xx0zxxx0yy0fx(x0,y0)yy0或精品文档精品文档38精品文档例如fx(x0,y0)limf(x0x,y0)f(x0,y0)x0x类似地函数zf(xy)在点(x0y0)处对y的偏导数定义为limf(x0,y0y)f(x0,y0)y0y精品文档精品文档38精品文档zx0fzyxx0xxx0yyy0yyy0记作yy0y00或f(xy)偏导函数如果函数zf(xy)在区域D内每一点(xy)处对x的偏导数都存在那么这个偏导数就是x、y的函数它就称为函数zf(xy)对自变量x的偏导函数记作zfzx或fx(x,y)xx偏导函数的定义式fx(x,y)limf(xx,y)f(x,y)x0x类似地可定义函数zf(xy)对y的偏导函数记为zf或fy(x,y)yyzyfy(x,y)limf(x,yy)f(x,y)偏导函数的定义式y0y精品文档精品文档13精品文档ff精品文档精品文档38精品文档求 x时 只要把y暂时看作常量而对x求导数求 y时 只要把x暂时看作常量而对精品文档精品文档38精品文档求导数讨论 下列求偏导数的方法是否正确?fx(x,y)fx(x,y)xx0fy(x,y)fy(x,y)xx000yy000yy0fx(x0,y0)[df(x,y0)]fy(x0,y0)[df(x0,y)]yy0dxxx0dy偏导数的概念还可推广到二元以上的函数例如三元函数uf(xyz)在点(xyz)处对x的偏导数定义为fx(x,y,z)limf(xx,y,z)f(x,y,z)x0x其中(xyz)是函数uf(xyz)的定义域的内点它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题例1求zx23xyy2在点(12)处的偏导数z2x3yz3x2yzx121328zx131227解xyxy2yy2例2求zx2sin2y的偏导数z2xsin2yz2x2cos2y解xy例3设zxy(xxz1z2z0,x1)求证yxlnxyzyxy1zxylnx证xyxz1zxyxy11xylnxxyxy2zyxlnxyylnx精品文档精品文档38精品文档例4求rx2y2z2的偏导数rxxryy解xx2y2z2ryx2y2z2r例5已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数)pVT1求证VTppRTpRT证因为VVV2VRTVRpTpTpVTVRpRpVTRTRVRT1所以VTpV2pRpV例5说明的问题偏导数的记号是一个整体记号不能看作分子分母之商二元函数zf(xy)在点(x0y0)的偏导数的几何意义fx(x0y0)[f(xy0)]x是截线zf(xy0)在点M0处切线Tx对x轴的斜率f(xy)[f(x0y)]y是截线zf(x0y)在点M0处切线Ty对y轴的斜率y00偏导数与连续性对于多元函数来说即使各偏导数在某点都存在也不能保证函数在该点连续例如xyx2y20f(x,y)x2y2x2y200在点(00)有fx(00)0fy(00)0但函数在点(00)并不连续提示f(x,0)0f(0,y)0fx(0,0)d[f(x,0)]0fy(0,0)d[f(0,y)]0dxdy当点P(xy)沿x轴趋于点(00)时有limf(x,y)limf(x,0)lim00(x,y)(0,0)x0x0当点P(xy)沿直线ykx趋于点(00)时有limxylimkx2ky2k2x21k2(x,y)(0,0)x2x0x2ykxlimf(x,y)故函数f(xy)在(00)处不连续因此(x,y)(0,0)不存在精品文档精品文档17精品文档类似地 可定义函数 zf(xy)对y的偏导函数 记为精品文档精品文档38精品文档