文档介绍：第五章插值法与曲线拟合
插值法
泰山学院信息科学技术系
上一讲的简单回顾
●插值多项式的存在惟一性:
满足插值条件
Pn(xi)=f(xi), ( i=0,1,2,…,n)
n次插值多项式Pn(x)=a0+a1x+a2x2+……+anxn 存在而且惟一.
●插值余项: Rn(x)= f(x)- Pn(x)= ,
● Lagrange插值多项式
其中
,i =0,1,…,n
称为Lagrange插值基函数
§ 牛顿途径
对于n+1个不同的节点,考虑n次多项式
(6)
如果满足: ,那么它就是n+1个点上的n次插值多项式,对于这样的,有
优点: 具有严格的规律性,便于记忆.
缺点: 不具有承袭性,即每当增加一个节点时,不仅要增加求
和的项数,而且以前的各项也必须重新计算.
为了克服这一缺点,本讲将建立具有承袭性的插值公式—
Newton插值公式.
本讲主要内容:
● Newton插值多项式的构造
●差商的定义及性质
●差分的定义及性质
●等距节点Newton插值公式
一基函数
问题1 求作n次多项式
使满足
(2)
为了使的形式得到简化,引入如下记号
(3)
(1)
定义由式(3)定义的n+1个多项式
称为Newton插值的以x0,,x1,…,xn为节点的基函数,即
可以证明,这样选取的基函数是线性无关的,由此得
,而且新增加一个节点 xn+1时
只需加一个新项即
而
(4)
依据条件(2),可以依次确定系数c0,c1,…,cn..例如,
取x=x0,,得
取x=x1 ,得
取x=x2,得
.
为了得到计算系数ci的一般方法,下面引进差商的概念.
二差商的定义
给定[a,b]中互不相同的点x0,x1,x2,…,以及f(x)在这些点处相
应的函数值f(x0),f(x1),f(x2),…,用记号
表示f(x)在x0及x1两点的一阶差商. 用记号
表示f(x)在x0,x1,x2三点的二阶差商. 一般地,有了k-1阶差商之后,
可以定义f(x)在x0,x1,..,xk的k阶差商
三 Newton插值公式
由差商定义,有
f(x)= f[x0]+(x-x0)f[x,x0]
f[x,x0]= f[x0,x1]+(x-x1)f[x,x0,x1]
f[x,x0,x1]= f[x0,x1,x2]+(x-x2)f[x,x0,x1,x2]
………..
f[x,x0,…xn-1]= f[x0,…,xn]+(x-xn)f[x,x0,….,xn]
将以上各式,由下而上逐步代入,得到
f(x)= f(x0)+(x-x0) f[x0,x1]+(x-x0)(x-x1) f[x0,x1,x2]
+…+(x-x0)…(x-xn-1) f[x0,…,xn]
+(x-x0)…(x-xn-1)(x-xn)f[x,x0,…xn]
(5)