文档介绍：1第二章插值与曲线拟合§ 1 引言§ 2 拉格朗日插值多项式§ 3 牛顿插值多项式§ 4 分段低次插值§5最小二乘拟合 2 §1 引言。常遇到这种情况:在某个实际问题中,虽然可以断定所考虑的函数在区间上存在且连续,但却难以找到它的解析表达式,只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值(即一张函数表)。显然,要利用这张函数表来分析函数的性态、甚至直接求出其?? xf?? ba, 3 它一些点上的函数值是非常困难的。在有些情况下,虽然可以写出函数的解析表达式,但由于结构相当复杂,使用起来很不方便。面对这些情况,总希望根据所得函数表(或结构复杂的解析表达式),构造某个简单函数 P(x)作为的近似。插值法是解决此类问题的一种比较古老的、然而却是目前常用的方法,它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中,而且也是进一步学****数值计算方法的基础。?? xf?? xf4 定义设函数 y = f(x ) 在区间[a,b ]上连续, 且在 n +1 个不同的点上分别取值,在一个性质优良、便于计算的函数类φ中,求一简单函数 p(x ) ,使而在其它点上,作为 f(x ) 的近似。称区间为插值区间,点为插值节点,称( )为 f(x)的插值条件,称函数类φ为插值函数类,称 p(x)为函数在 bxxxa n??,,, 10? nyyy,,, 10????? niyxP ii?,1,0??() ixx? nxxx,,, 10?5 节点处的插值函数。求插值函数 p(x ) 的方法称为插值法。插值函数类φ的取法不同,所求得的插值函数 p(x)逼近f(x)的效果就不同它的选择取决于使用上的需要。常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多项式作为插值函数时, 相应的插值问题就称为多项式插值。在多项式插值中,最常见、最基本的问题是:求一次数不超过 n的代数多项式 nxxx,,, 10?6 () ??? nn nxaxaaxP????? 10使其中为实数。满足插值条件() 的多项式() ,称为函数 f(x)在节点处的 n次插值值多项式。 n次插值多项式的几何意义:过曲线 y = f(x ) 上的 n+ 1个点作一条 n次代数曲线,作为曲线 y = f(x ) 的近似,如图 2-1 。???? niyxP iin,,,1,0??? naaa,,, 10??? xP n)(xPy n?),,1,0 )(,(niyx ii??() 7 ?? xPy n??? xfy? 0x 1x nxX ab 0y 1y ny 0 Y 8 1 .2 插值多项式存在唯一性由插值条件( )知,插值多项式的系数满足线性方程组( ) 由线性代数知,线性方程组的系数行列式(记为 V)是 n+1 阶范德蒙( Vandermonde )行列式,且?? xP n?? nia i?,1,0??????????????????? n nnnn nn nnyxaxaa yxaxaa yxaxaa????????????? 10 11110 00010?????????? ni ij jinnnn n nxxxxx xxx xxxV 1 10 2 1 211 0 2001 1 1????????9 因是区间上的不同点,上式右端乘积中的每一个因子,于是,方程组( )的解存在且唯一。故有下面的结论: 定理 1 若节点互不相同,则满足插值条件( ) 的n次插值多项式( )存在且唯一。 0?V nxxx?,1,0?? ba,0?? jixx nxxx?,1,0 10 §2 拉格朗日插值多项式在上一节里,我们不仅指出了插值多项式的存在唯一性,而且也提供了它的一种求法,即通过解线性方程组( ) 来确定其系数,但是,这种作法的计算工作量大,不便于实际应用,下面介绍几种简便的求法。插值基函数先考虑一下简单的插值问题:对节点中任一点,作一 n次多项式, 使它在该点上取值为 1,而在其余点上取值为零, 即( ) ( ) 表明 n 个点都是 n 次多项式的零点,故可设)(xl k ia?? nix i?,1,0??? nkx k??0?? nkkix i,,1,1,1,0??????????ki kixl ik0 1)( )(xl k?? nkkix i?,1,1,1,0???)() )(() )(()( 1110nkk kkxxxxxxxxxxAxl??????????