文档介绍：该【2020年高校联合招收华侨港澳台学生考试数学试卷真题及答案详解 】是由【1781111****】上传分享，文档一共【13】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【2020年高校联合招收华侨港澳台学生考试数学试卷真题及答案详解 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..联合招收华侨港澳台学生入学考试数学(含答案与解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。.(5分)若集合共有5个元素,则A的真子集的个数为().(5分)设函数f(x)=ln(3x+a),若f'(0)=1,则a=().(5分)设z=,则=()﹣3iB.﹣5﹣+3iD.﹣5+3i4.(5分)设函数f(x)=x2+x+c,若f(1),f(2),f(3)成等比数列,则c=()A.﹣6B.﹣.(5分)离心率为的椭圆的焦距为2,则该椭圆的短轴长为().(5分)设双曲线x2﹣y2=4的焦点为F,F,点P在双曲线右支上,且∠FPF=90°,1212则点P的横坐标为().(5分)从写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中任选2张,其上数字和为偶数的概率是().(5分)已知正三棱锥P﹣ABC,AB=2,PA=,D为PC中点,则三棱锥D﹣ABC的体积为().(5分)若a+b+c=4,3a+2b﹣c=0,则ab的最大值为().(5分)函数f(x)=lnx+的单调递增区间是()A.(0,1)B.(,+∞)C.(0,e)D.(1,+∞)页(共13页):..(5分)已知函数(x)=2sin2x﹣sin2x,则f(x)的最小值为().﹣1C.﹣D.﹣212.(5分)设点P,P,P在O上,若++=,则∠PPP=()°°°°二、填空题:本题共小题,每小题5分,共30分。13.(5分).(5分)(x﹣3)(x﹣32)(x﹣33)(x﹣34)的展开式中x3的系数为.(用数字作答)15.(5分)设函数f(x)的定义域为R,且f(x)=f(x+2),f(2)=1,则f(20)=.16.(5分)在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,1,﹣1),.(5分)若多项式x5+x3+2x2+a能被x2+1整除,则a=.18.(5分)已知双曲线x2﹣y2=m与椭圆2x2+3y2=m+1有相同的焦点,则m=.三、解答题:本题共4小题,每小题15分,共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19.(15分)设函数f(x)=.(1)求f(x)的定义域;(2)求f(x)的单调区间:(3)求f(x)在区间[1,5].(15分)设△ABC的面积为10,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=7,sin2A=sin2B+sin2C﹣,.(15分)设数列{a}的前n项和S=2a﹣(1)求{an}的通项公式;(2)证明:<.22.(15分)经过点A(﹣2,4)且倾斜角为135°的直线与抛物线y2=2px(p>0)交于M,N两点,且=λ,=,λ>(共13页):..数学参考答案与试题解析一、选择题:本题共小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。.(5分)若集合共有5个元素,则A的真子集的个数为()【分析】根据真子集个数的结论即可求解.【解答】解:∵集合A共有5个元素,∴A的真子集的个数为25﹣1=:B.【点评】本题考查真子集个数的结论,.(5分)设函数f(x)=ln(3x+a),若f'(0)=1,则a=()【分析】先根据复合函数求导法则及导数公式求出导函数,再通过f'(0)=1建立方程即可求解.【解答】解:∵f(x)=ln(3x+a),∴f′(x)=,又f'(0)=1,∴,∴a=3,故选:A.【点评】本题考查复合函数求导法则及导数公式,方程思想,.(5分)设z=,则=()﹣3iB.﹣5﹣+3iD.﹣5+3i【分析】先化简复数z,再求,从而得解.【解答】解:∵z===﹣5+3i,∴=﹣5﹣:B.【点评】本题考查复数的基本运算,.(5分)设函数f(x)=x2+x+c,若f(1),f(2),f(3)成等比数列,则c=()A.﹣6B.﹣【分析】(共13页):..解:∵(x)=x+x+c,∴f(1)=c+2,f(2)=c+6,f(3)=c+12,又f(1),f(2),f(3)成等比数列,∴f(1)f(3)=[f(2)]2,∴(c+2)(c+12)=(c+6)2,解得c=:D.【点评】本题考查等比数列的性质,方程思想,.(5分)离心率为的椭圆的焦距为2,则该椭圆的短轴长为()【分析】根据题意建立a,b,c的方程组,再解方程组即可得解.【解答】解:∵椭圆的离心率e==,又椭圆的焦距为2c=2,∴c=1,a=2,∴b===,∴该椭圆的短轴长为2b=.故选:C.【点评】本题考查椭圆的简单几何性质,方程思想,.(5分)设双曲线x2﹣y2=4的焦点为F,F,点P在双曲线右支上,且∠FPF=90°,1212则点P的横坐标为()【分析】设点P为(x,y),再根据题意建立方程组,最后解方程组即可得解.【解答】解:∵双曲线的方程为x2﹣y2=4,∴a2=b2=4,∴c2=a2+b2=8,∴c=,∴F1(,0),F2(,0),设P(x,y),根据题意可得:,解得x=,∴:C.【点评】本题考查双曲线的简单几何性质,方程思想,(共13页):..(5分)从写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中任选2张,其上数字和为偶数的概率是().【分析】根据组合数公式,计数原理,古典概率的概率公式即可求解.【解答】解:从写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中任选2张共有=10个结果,而2张卡片上的数字和为偶数的条件为2个奇数或2个偶数,∴2张卡片上的数字和为偶数包含+=4个结果,∴2张卡片上的数字和为偶数的概率是=.故选:.【点评】本题考查古典概率的概率公式,组合数公式及计数原理,.(5分)已知正三棱锥P﹣ABC,AB=2,PA=,D为PC中点,则三棱锥D﹣ABC的体积为().【分析】由题意画出图形,求得棱锥底面面积,再求出棱锥的高,得到D到底面的距离,再由棱锥体积公式求解.【解答】解:如图,正三棱锥P﹣ABC中,AB=2,则,设AC的中点为E,连接BE,则△ABC的中心O在BE上,且BO=,又PA=,∴三棱锥的高PO==,∵D为PC中点,∴D到平面ABC的距离为,∴三棱锥D﹣ABC的体积为V=.页(共13页):...【点评】本题考查多面体体积的求法,考查空间想象能力与运算求解能力,是基础题..(5分)若a+b+c=4,3a+2b﹣c=0,则ab的最大值为().【分析】方法一:由a+b+c=4,3a+2b﹣c=0,可消去c得到4a+3b=4,根据基本不等式“和定,积有最大值”,,当且仅当4a=3b时,等号成立即可得出答案;方法二:由a+b+c=4,3a+2b﹣c=0,可消去c得到4a+3b=4,则,令y=ab,代入即可得到二次函数,即可得出答案.【解答】解:方法一:由a+b+c=4,3a+2b﹣c=0,消去c得到4a+3b=4,令a>0,b>+3b≥,即,∴ab≤,当且仅当4a=3b时,等号成立,::由a+b+c=4,3a+2b﹣c=0,可消去c得到4a+3b=4,则,令y=ab,∴y=,∴当b=时,,:C.【点评】本题主要考查基本不等式的应用,解题时要注意“=”成立的条件及使用基本不等式的条件,.(5分)函数f(x)=lnx+的单调递增区间是()A.(0,1)B.(,+∞)C.(0,e)D.(1,+∞)【分析】先求函数的导函数f′(x),然后求解f′(x)>0的解集即可得解.【解答】解:已知函数f(x)=lnx+,则函数的定义域为:(0,+∞),则,令f′(x)>0,解得x>1,即函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞),页(共13页):...【点评】本题考查了导数的应用,重点考查了函数单调区间的求法,属基础题..(5分)已知函数f(x)=2sin2x﹣sin2x,则f(x)的最小值为().﹣1C.﹣D.﹣2【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换,把函数的关系式变形成余弦型函数,进一步利用余弦型函数性质的应用求出函数的最小值.【解答】解:函数f(x)=2sin2x﹣sin2x==1﹣2cos(2x﹣);当(k),即x=(k∈Z)时,函数的最小值为﹣:B.【点评】本题考查的知识要点:三角函数的关系式的变换,余弦型函数性质的应用,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,.(5分)设点P,P,P在⊙O上,若++=,则∠PPP=()°°°°【分析】根据已知条件,推得,即,再结合平面向量的数量积公式,即可求解.【解答】解:设=r,∵++=,∴,即,∴r2+r2+2×r×r×cos∠POP=r2,解得cos∠POP=,1212∴∠POP=120°,同理可得,∠POP=120°,∠POP=120°,121323∴△P1P2P3是等边三角形,∴∠P1P2P3=60°.故选:C.【点评】本题主要考查平面向量的数量积公式,、填空题:本题共6小题,每小题5分,共30分。13.(5分)不等式组的解集为{x|﹣4≤x<﹣1}.【分析】(共13页):..解:由﹣2x﹣3>0可得x>3或x<﹣1;由﹣x2﹣3x+4≥0可得﹣4≤x≤,解得﹣4≤x<﹣:{x|﹣4≤x<﹣1}.【点评】本题考查一元二次不等式的解法,考查转化思想和运算能力,.(5分)(x﹣3)(x﹣32)(x﹣33)(x﹣34)的展开式中x3的系数为﹣120.(用数字作答)【分析】先观察展开式中x3的特点,再求解即可.【解答】解:(x﹣3)(x﹣32)(x﹣33)(x﹣34)的展开式中x3的看作:(x﹣3),(x﹣32),(x﹣33),(x﹣34)中取3次x,取1次常数相乘得到,∴展开式中x3的系数为﹣3﹣32﹣33﹣34=﹣3﹣9﹣27﹣81=﹣120,故答案为:﹣120.【点评】本题主要考查二项展开式中特定项系数的运算,.(5分)设函数f(x)的定义域为,且f(x)=f(x+2),f(2)=1,则f(20)=512.【分析】由f(x+2)=2f(x),根据自变量的关系,得到函数值的关系,逐步求解即可.【解答】解:∵f(x)=f(x+2),∴f(x+2)=2f(x),∴f(4)=2f(2)=2,∴f(6)=2f(4)=4,f(8)=2f(6)=8,f(10)=2f(8)=16,f(12)=2f(10)=32,f(14)=2f(12)=64,f(16)=2f(14)=128,f(18)=2f(16)=256,f(20)=2f(18)=:512.【点评】本题考查函数值的求法,找出规律是关键,.(5分)在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,1,﹣1),则经过点A且与直线AB垂直的平面方程为y﹣3z=0.【分析】由已知可得=(0,1,﹣3),设经过点A且与直线AB垂直的平面内任一点M(x,y,z),可得0×x+1×y+(﹣3)×z=0,化简即可.【解答】解:∵A(1,0,2),B(1,1,﹣1),∴=(0,1,﹣3),设经过点A且与直线AB垂直的平面内任一点M(x,y,z),页(共13页):..×+1×y+(﹣3)×z=0,即y﹣3z=:y﹣3z=0.【点评】本题考查平面方程的求法,.(5分)若多项式x5+x3+2x2+a能被x2+1整除,则a=2.【分析】根据整除的概念即可求解.【解答】解:∵x5+x3+2x2+a=x3(x2+1)+2(x2+),又多项式x5+x3+2x2+a能被x2+1整除,∴,∴a=2,故答案为:2.【点评】本题考查多项式整除问题,.(5分)已知双曲线x2﹣y2=m与椭圆2x2+3y2=m+1有相同的焦点,则m=.【分析】确定椭圆、双曲线的焦点坐标,根据双曲线中三个系数a,b,c的关系求出m的值.【解答】解:∵2x2+3y2=m+1,∴椭圆方程为,∴c2=a2﹣b2==,∵双曲线x2﹣y2=m即为,双曲线与椭圆有相同焦点,∴2m=,∴m=.故答案为:.【点评】,、解答题:本题共小题,每小题15分,共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19.(15分)设函数f(x)=.(1)求f(x)的定义域;页(共13页):..)求(x)的单调区间:(3)求f(x)在区间[1,5]的最大值和最小值.【分析】(1)解不等式﹣x2+5x+6≥0即可求解;(2)根据一元二次函数的单调性及复合函数的单调性即可求解;(3)由(2)中的结论数形结合即可求解.【解答】解:(1)∵f(x)=,∴﹣x2+5x+6≥0,∴x2﹣5x﹣6≤0,∴﹣1≤x≤6,∴f(x)的定义域为[﹣1,6];(2)∵一元二次函数y=﹣x2+5x+6的开口向下,且对称轴为x=,又x[﹣1,6],∴根据复合函数的单调性可得:f(x)的单调增区间为[﹣1,],单调减区间为[,6];(3)由(2)可知f(x)在[1,]上单调递增,在[,5]上单调递减,∴f(x)的最大值为f()=,又﹣1<5﹣,∴f(x)的最小值为f(5)=,故f(x)在区间[1,5]的最大值为,最小值为.【点评】本题考查一元二次不等式的求解,一元二次函数的单调性,复合函数的单调性,.(15分)设△ABC的面积为10,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=7,sin2A=sin2B+sin2C﹣,b和c.【分析】由正弦定理化简已知等式可得b2+c2﹣a2=bc,进而根据余弦定理可求cosA=,结合范围0<A<π,可求A的值;由已知利用三角形的面积公式可求bc=40,又由余弦定理可得b2+c2=89,联立即可解得b,c的值.【解答】解:因为sin2B+sin2C﹣sin2A=sinBsinC,所以b2+c2﹣a2=bc,则cosA===,页(共13页):..<<,所以A=.因为△ABC的面积为10,所以bcsinA=bc=10,即bc=40,又因为由余弦定理可得:b2+c2﹣a2=bc,a=7,所以b2+c2=89,②所以由①②联立解得b=5,c=8或b=8,c=5.【点评】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用,考查方程思想和运算能力,.(15分)设数列{an}的前n项和Sn=2an﹣n.(1)求{an}的通项公式;(2)证明:<.【分析】(1)由已知可得:a=2a+1,即a+1=2(a+1),即数列{a+1}是以2为nn﹣1nn﹣1n首项,2为公比的等比数列,然后求通项公式即可;(2)由(1)可得:=,然后累加后放缩即可得证.【解答】(1)解:已知数列{an}的前n项和Sn=2an﹣n,则当n=1时,S=2a﹣1,即a=1,111当n≥2时,a=S﹣S=(2a﹣n)﹣(2a﹣n+1)=2a﹣2a﹣1,nnn1nn1nn1﹣﹣﹣即a=2a+1,nn﹣1即a+1=2(a+1),nn﹣1又a+1=2,1即数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,即,即,n∈+;(2)证明:由(1)可得:=,则==页(共13页):..故命题得证.【点评】本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式,重点考查了裂项求和法,属中档题..(15分)经过点(﹣2,4)且倾斜角为135°的直线与抛物线y2=2px(p>0)交于M,N两点,且=,=,λ>.【分析】先由题意可得MN直线方程为x+y﹣2=0,再联立抛物线y2=2px(p>0),接着设而不求,由=λ,=及根与系数的关系得到p与λ的方程组,最后再解方程组即可得解.【解答】解:根据题意可得MN直线方程为y﹣4=﹣(x+2),即x+y﹣2=0,联立,可得y2+2py﹣4p=0,∵p>0,∴Δ=4p2+16p>0,设M(x,y),N(x,y),又A(﹣2,4),1122∴,∴,,,又=λ,=,∴,∴,∴,∴﹣4p+8p+16=4p2+16p,∴p2+3p﹣4=0,又p>0,∴p=1,∴y2+2y﹣4=0,∴y=﹣1±,又λ=>0,∴,,页(共13页):..===.故=,λ=.【点评】本题考查直线的点斜式方程,直线与抛物线相交问题,设而不求法,方程思想,抽象运算能力,(共13页)