方阵的特征值与特征向量.pdf

文档介绍：线性代数
【引例】⎛⎞−21 ⎛⎞x11 ⎛⎞y
AXYAX====⎜⎟,,⎜⎟⎜⎟
⎝⎠12−⎝⎠x22 ⎝⎠y
⎛⎞21 ⎛−⎞
XYAX111=→==⎜⎟⎜⎟
⎝⎠34 ⎝−⎠
四、方阵的特征值与特征向量⎛⎞11 ⎛−⎞
XYAXX2222= ⎜⎟→= = ⎜⎟=−
⎝⎠11 ⎝−⎠
⎛⎞13 ⎛⎞−
XYAXX3333=→===−⎜⎟⎜⎟ 3
⎝⎠−13 ⎝⎠
Y2, Y3 是X2 , X3 的伸缩且X2 , X3为非零列向量
称X2 , X3为矩阵 A 的特征向量
而伸缩的倍数:–1, – 3 称为特征向量X2 , X3
432 433 对应的特征值
本部分讨论的问题: 1 特征值与特征向量的概念
‰ 方阵的特征值与特征向量的概念定义设 A 为 n 阶矩阵,如果存在数λ与 n 维非零
列向量 X ,使得
‰ 特征值与特征向量的计算 AX= λ X
则称λ是矩阵 A 的特征值
X 是对应于特征值λ的特征向量
‰ 特征值与特征向量的性质
‰ 方阵相似于对角矩阵的充要条件
434 435
例如⎛⎞−21
矩阵 A 有特征向量 X0 , A = ⎜⎟
⎝⎠12−
对应的特征值为λ0
λ−(2)−− 1
为齐次线性方程组||λ EA−= =+(3)(1)λλ+
X0 −1(2)λ−−
()0λ E −=AX
00 = λλ2 ++43—λ的二次多项式
的非零解
| λE - A | = 0的根为λ12=−3,λ=− 1
| λ0 E - A | = 0 -3 对应的特征向量为所有(-3E – A)X = 0 的非零解
⎛−11−⎞⎛⎞11
称λ的多项式| λE - A | 为矩阵 A 的特征多项式−−=3EA ⇒
⎜⎟⎜⎟00
称λ的方程| λ E - A | = 0为矩阵 A 的特征方程⎝−11−⎠⎝⎠
⎛⎞−1
显然的特征值是特征方程的根-3 对应的特征向量为 c1 (c1为任意非零常数)
, A ⎜⎟1
436 437 ⎝⎠
75
线性代数
对应的特征向量为所有的非零解‰一般地,设 A 为 n 阶矩阵,Aa=∈,, aR
-1 (-E – A)X = 0 ()ijn ij
λ− aa−−" a
⎛ 11−⎞⎛ 11−⎞ 11 12 1n
−−EA = ⇒
⎜⎟⎜⎟−−aa21λ 22" − a 2n
−11 ⎝ 00⎠||λ EA−=
⎝⎠""""
⎛−1⎞
-1 对应的特征向量为c2 ⎜⎟(c2为任意非零常数) −−aann12" λ− a nn
⎝ 1 ⎠
=+λλnnaa−1 ++"
另外, 注意本例中 1 n
—首项系数为 1 的λ的 n 次多项式,
λ12+=−+−=−=−+−λ 3(1)4(2)(2), 其系数完全由矩阵 A 的元素所确定
λ12⋅=−×−==λ(3)(1)3 |A |
438 439
‰ 对应于同一个特征值的特征向量有无穷多个。
‰ 特征值的个数:由代数学基本原理,对于n > 0的只要求出齐次线性方程组
n 次实系数多项式,在复数域中恰有n 个零点(k
重零点算作 k 个零点). 但是实矩阵可能有复特征值()0λ0 E − AX=
例如的基础解系, 即可求出所有的与λ0对应的特征向量
⎛⎞01−对应于同一个特征值的特征向量的非零线性组合,
A = ⎜⎟也是对应于同一个特征值的特征向量
⎝⎠10
2
的特征方程为λ+=10,特征值为± i ‰ 一个特征向量所对应的特征值是唯一的
440 441
2 特征值与特征向量的求法【例】⎛ 011⎞
A = ⎜ 101⎟
步骤: ⎜⎟
⎜⎟
1° 求出矩阵 A 的特征多项式与所有的特征值⎝ 110⎠
设 A 有 s 个不同的特征值
求 A 的特征值与特征向量
λ12,,,λλ" s
【解】
° 对每个特征值求出齐次线性方程组 2
2 λi , ||λλλEA−=−(2)(1) +
()0λ E −=AX
i 特征值为
的基础解系: αii,,,,αα" i
12 ri
ri
λ12= λλ=−1, 3 = 2
则所对应的全体特征向量为 k α
λi ∑ iimm
m=1
kkii,,," k i不同时为零
12 ri
442 443
76
线性代数
对解齐次线性方程组
λ−−11 λ1 = λ2 = –1,
||λλEA−=−11 −()0−E −=