文档介绍：第三章非线性规划
非线性规划
非线性规划的实例与定义
如果目标函数或约束条件中包含非线性函数,就称这种规划问题为非线性规划问题。,非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法,各个方法都有自己特定的适用范围。
下面通过实例归纳出非线性规划数学模型的一般形式
例1 (投资决策问题)某企业有n 个项目可供选择投资,并且至少要对其中一个项目投资。已知该企业拥有总资金A 元,投资于第i ( i = 1,….,n) 个项目需花资金 ai元,并预计可收益 bi元。试选择最佳投资方案。
解设投资决策变量为
则投资总额为
,投资总收益为
因为该公司至少要对一个项目投资,并且总的投资金额不能超过总资金A ,故有限制条件
由于) xi (i = 1,…. , n 只取值0 或1,所以还有
最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案,所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量(取0 或1)的限制条件下,极大化总收益和总投资之比。因此,其数学模型为:
上面例题是在一组等式或不等式的约束下,求一个函数的最大值(或最小值)问题,其中至少有一个非线性函数,这类问题称之为非线性规划问题。
可概括为一般形式
其中x =[x1….. xn ] T 称为模型的决策变量,f 称为目标函数, g i ( i =1,….P ) 和) hj (j =1,…..q ) 称为约束函数。另外, 0 ) g i(x )=0 ( i =1,….P )称为等式约束, hj(x) ≤0 (j =1,…..q )称为不等式的约束。
线性规划与非线性规划的区别
如果线性规划的最优解存在,其最优解只能在其可行域的边界上达到(特别是可行域的顶点上达到);而非线性规划的最优解(如果最优解存在)则可能在其可行域的任意一点达到。
非线性规划的Matlab 解法
Matlab 中非线性规划的数学模型写成以下形式
其中 f (x ) 是标量函数, Beq , Aeq, B, A 是相应维数的矩阵和向量, C (x), Ceq ( x )是非线性向量函数。
Matlab 中的命令是
X=FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,OPTIONS)
LB≤ x≤UB
它的返回值是向量x ,其中FUN 是用M 文件定义的函数 f (x ) ;X0 是x 的初始值;A,B,Aeq,Beq 定义了线性约束A * X ≤ B , Aeq * X = Beq ,如果没有线性约束,则A=[], B=[], Aeq=[], Beq=[];LB 和UB 是变量x 的下界和上界,如果上界和下界没有约束,则LB=[],UB=[],如果x 无下界,则LB 的各分量都为-inf,如果x 无上界,则UB的各分量都为inf;NONLCON 是用M 文件定义的非线性向量函数 C(x), C eq ( x ) ;OPTIONS定义了优化参数,可以使用Matlab 缺省的参数设置。
例2 求下列非线性规划
解
(i)%编写M 定义目标函数
function f=fun1(x);
f=sum(x.^2)+8;
(ii)
function [g,h]=fun2(x);
G=-x(1)^2+x(2)-x(3)^2
x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20; %非线性不等式约束
h=[-x(1)-x(2)^2+2
x(2)+2*x(3)^2-3; %非线性等式约束