文档介绍：学士学位论文
题目浅析数学分析中的若干矛盾
学生
指导老师
年级 2006级
专业数学与应用数学
系别数学系
学院文理学院
哈尔滨师范大学
2010年4月
目录
摘要 1
关键词 1
1 常量与变量 1
2 离散与连续 3
3 整体与局部 5
4 一与多 7
5 有限与无限 9
6 曲与直 11
7 积分与微分 13
8 结束语 13
参考文献 13
外文摘要 14
浅析数学分析中的若干矛盾
陈伶俐
摘要: 恩格斯说:“纯数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系”.即数学是研究“数”和“形”,研究和领会各个矛盾的对立统一关系,,着重阐述常量与变量,离散与连续,整体与局部,有限与无限,一与多,直与曲,微分与积分等矛盾在数学分析中的体现.
关键词: 数学分析矛盾对立统一
恩格斯在《反杜林论》中指出:“高等数学的主要基础之一,就是矛盾……”, 列宁在《黑格尔<哲学史讲演录>一摘要》中指出:“就本来的意义讲,辩证法是研究对象的本质自身中的矛盾.”在数学分析的学****中,是否能深刻认识数学分析中的矛盾现象,能否深入研究各个矛盾中的对立统一关系,,如常量与变量,有限与无限,离散与连续,微分与积分,.
1 常量与变量
变量是运动的,不断变化的量;常量是不变的,,因此,,,常量与变量可相互转化,,我们解决了数学分析中的许多重要的基本理论问题.
例如,我们知道定积分是作为一种特殊的无穷和而定义的.
设是定义在上的一个函数,,总存在某一正数,使得对的任何分割,以及在其上任意选取的点集,只要,就有
,
则称函数在区间上可积或黎曼可积;数称为在上的定积分或黎曼积分,记作
其中,称为被积函数,称为积分变量,称为积分区间,,分别称为这个
定积分的下限和上限.
当积分函数和积分区间给定以后,,积分值随之变化,,得到了微积分基本定理,该定理反过来把变量转化为常量,最终得到牛顿——莱布尼兹公式.
若函数在上连续,且存在原函数,即,,则在上可积,且
.
这一划时代的伟大成果正是由常量与变量的对立统一关系导出的.
充分利用常量与变量的辩证思想,常常能是某些数学问题得到很好的解决.
(泰勒(Taylor)中值定理) 如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数,则当在内时,可以表示为的一个多项式与一个余项之和.
其中,这里是与之间的某个值.
在这个定理的证明中,可将函数的次泰勒多项式:
的项换为而得
在上式中把原来的变量视作常量,而把原来的变成变量,则有
由此证得泰勒中值定理.
又如在数列极限定义说明了在一定条件下,变量可以向常量转化.
设是一给定数列,,可以找到自然数,使得当时,成立
,
则称数列收敛于(或是是数列的极限),记为
有时也记为
.
在这整个过程来说正数是任意的变化的,是一个变量,但是从过程的每个瞬间来说,正数又是固定的有限的,找到一个常量,从而刻画了数列极限.
2 离散与连续
在数学分析中离散和连续的对立统一关系,最经典的体现是数列与函数,,实现数列极限与函数极限相互转化的桥梁正是海涅定义.
定理2 .1(归结原则)
:对任何含于且以为极限的数列,极限都存在且相等.
注1 有时归结原则也可简述为:
对任何有.
注2 若可以找到一个以为极限的数列,使不存在,或找到两个都以为极限的数列与,使与都存在而不相等,则不存在.
有关函数极限定理的证明可以借助海涅定理,转换为相应数列的极限定理给予证明,而且由数列的收敛判别法还可相应的得到函数极限存在的判别法.
例1 证明不存在.
证明对于,
.
所以,不存在.
例2 计算.
解(方法1)因为
由归结原则得
故
(方法2)考虑.
对上式取以为底的对数,则有
再取,可得.
在微积分中,连续函数用不连续(