文档介绍：2018/1/26
第九章行波法与达朗贝尔公式
江萍
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数学物理方程定解问题的解法
行波法
分离变量法
幂级数解法
格林函数法
积分变换法
保角变换法
特殊函数法
计算机仿真解法
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对于二阶线性偏微分方程:
若判别式为:
则二阶线性偏微分方程分为三类:
时,方程称为双曲型;
当:
时,方程称为椭圆型;
时,方程称为抛物型;
对应于特征(线)方程:
二阶线性偏微分方程的分类
1. 双曲型偏微分方程
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因为双曲型方程对应的判别式,特征方程有两个实数解:
令:
进行自变量变换,则原偏微分方程化为下列标准形式:
二阶线性偏微分方程的标准化
2. 抛物型偏微分方程
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因为双曲型方程对应的判别式,特征方程有一个实数解:
令:
令: 。
任意选取另一个变换,
与彼此独立,满足:
进行自变量变换,则原偏微分方程化为下列标准形式:
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3. 椭圆型偏微分方程
令:
因为椭圆型方程对应的判别式,特征方程有两共轭复变函数解:
进行自变量变换,则原偏微分方程化为下列标准形式:
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二阶线性微分方程的通解
讨论方程的类型,并化成标准型,再求通解.
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【解】判别式:
抛物型
上述偏微分方程对应的特征方程为:
令: ,
为了与ξ线性独立,可令:
.
作变量代换:
即:
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对η积分,得:
为原方程的通解。
其中, 为任意二次可微连续函数。
对原方程作变换(复合函数求导),可将方程化成标准型:
再对η积分,解得:
(F(ξ)与η无关)
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求偏微分方程
的通解。
【解】判别式:
双曲型
特征方程为:
即:
因此特征曲线为:
作变量代换: