文档介绍：2010年高考数学试题分类解析
【考点5】导数及其应用
1、(18)(重庆理)(本小题满分13分,(I)小问5分,(II)小问8分)
已知函数其中实数
(Ⅰ)若a=-2,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)若在x=1处取得极值,试讨论的单调性。
解:(I)
当a=2时,,
因此曲线在点处的切线方程为,
即
(II)因由(I)知
又因处取得极值,所以
即
此时
其定义域为,且
由
当时,时,
由以上讨论知,在区间上是增函数,在区间(1,3)上是减函数
2、(22)(浙江)(本题满分14分)已知a是给定的实常数,设函数
是的一个极大值点.
(I)求b的取值范围;
(II)设是的3个极值点,问是否存在实数b,可找到,使得的某种排列(其中)依次成等差数列?若存在,示所有的b及相应的若不存在,说明理由.
(Ⅰ)解:
令
则
于是可设是的两实根,且
(1)当时,则不是的极值点,此时不合题意
(2)当时,由于是的极大值点,
故
即
即
所以
所以的取值范围是(-∞,)
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知,假设存了及满足题意,则
(1)当时,则
于是
即
此时
或
(2)当时,则
①若
于是
即
于是
此时
②若
于是
即
于是
此时
综上所述,存在满足题意
当
当
当
3、(21)(天津)(本小题满分14分)
已知函数
(Ⅰ)求函数的单调区间和极值;
(Ⅱ)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,证明当时,
(Ⅲ)如果,且,证明
(Ⅰ)解:f’
令f’(x)=0,解得x=1
当x变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表
X
()
1
()
f’(x)
+
0
-
f(x)
极大值
所以f(x)在()内是增函数,在()内是减函数。
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
(Ⅱ)证明:由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
当x>1时,2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F(x)在[1,+∞)是增函数。
又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
(Ⅲ)证明:(1)
若
(2)若
根据(1)(2)得
由(Ⅱ)可知,>,则=,所以>,从而>.因为,所以,又由(Ⅰ)可知函数f(x)在区间(-∞,1)内事增函数,所以>,即>2.
4、(22)(四川)(本小题满分14分)
设(且),是的反函数.
(Ⅰ)设关于的方程在区间上有实数解,求的取值范围;
(Ⅱ)当(为自然对数的底数)时,证明:;
(Ⅲ)当时,试比较与4的大小,并说明理由.
解:(Ⅰ)由题意,得
故
由得

列表如下:
2
(2,5)
5
(5,6)
6
+
0
-
5
极大值
25
所以
所以t的取值范围为[5,32]………………………………(5分)
(Ⅱ)

(Ⅲ)

综上,总有……………………………………(14分)
5、(陕西21.)(本小题满分14分)
已知函数f(x)=,g(x)=alnx,aR.
(I)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值及该切线的方程;
(II)设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小值时,求其最小值(a)的解析式;
(III)对(2)中的(a),证明:当
解:(I)
由已知得=alnx,
=, 解得a=,x=e2,
两条曲线交点的坐标为(e2,e) 切线的斜率为
切线的方程为y-e=(x- e2).
(II)由条件知
(i)当a.>0时,令h ( x)=0,解得x=,
所以当0 < x< 时 h ( x)<0,h(x)在(0,)上递减;
当x>时,h ( x)>0,h(x)在(0,)上递增。
∴x>是h(x)在(0, +∞)上的唯一极致点,且是极小值点,从而也是h(x)的最小值点.
∴最小值(a)=h()= 2a- a ln=2
(ii)当a  ≤   0时,递增,无最小值.
故 h(x) 的最小值(a)的解析式为2a(1-ln2a) (a>0)
(III)由(II)知 (a)=-2ln2a.
对任意的
, ①
②
③
故由①,②,③得
6、(7)(山东5分)由曲线围成的封闭图形面积为
(A) (B) (C) (D)
答案:A
7、(山东22)(本小题满分14分)
已知函数.