文档介绍：公理化方法的概念
从尽可能少的、不加定义的基本概念和一组不加证明的初始命题(基本公理)出发,应用严格的逻辑推理,使某一数学分支成为演绎系统的方法,称为公理化方法。
应用公理化方法建立演绎体系的关键是引进基本概念,设置一组公理,用它们定义新的概念,推导新的命题,所有这些基本概念、公理、定义、定理则组成了公理化方法的主要内容。
公理体系需要满足三个条件:独立性、相容性和完备性。
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公理化方法的思想源流
历史上第一个给出公理系统的学者是亚里士多德,他在其《工具书》中,总结了古代积累起来的逻辑知识,并以数学及其它学科为例,把完全三段论作为公理,由此推出了别的所有三段论。
第一个在“知其然”的同时提出“知其所以然”的学者是古希腊哲学家和数学家泰勒斯,他第一个证明了下面定理(1)一个圆被它的一个直径所平分;(2)三角形内角和等于两直角之和;(3)等腰三角形的两底角相等;(4)半圆上的圆周角是直角;(5)对顶角相等;(6)全等三角形的ASA定理。所以泰勒斯被称为论证之父。
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公理化方法的产生阶段----几何原本
《几何原本》共13卷,467个命题。其中有5个公设,5个公理。
公设:; ;;;,且若同侧所交两内角之和小于两直角,则两直线延长后相交于该侧的一点。
公理:,它们彼此也是相等的;,总量仍相等;,余量仍相等;;。
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公理化方法的完善阶段----非欧几何
非欧几何的诞生是公理化方法完善的标志。
罗氏几何模型黎蔓几何模型
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公理化方法的形式化阶段----几何基础
希尔伯特的<几何基础>把公理化方法本身推向了形式化阶段。;
<几何基础>中
基本元素:点、直线、平面
基本关系:结合关系、顺序关系、合同关系
基本公理:结合公理(8条)、顺序公理(4条)、合同公理(5条)、连续公理(2条) 、平行公理(1条)
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进一步的工作
集合论悖论的出现,又一次引起了数学基础的危机。
希尔伯特的元数学(证明论):(1)证明古典数学的每一个分支都可以公理化;(2)证明每一个这样的系统都是完备的、相容的;(3)证明每一个这样的系统所应用的模型都是同构的;(4)寻找这样一种方法,借助于它,可以在有限步骤内判断任一命题的可证明性。
元数学理论的研究使公理化方法进一步精确化,把公理化方法发展到一个新的阶段。形式化公理法不仅推动了数学基础的研究,而且为计算机的广泛应用开辟了广泛的前景。
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现代公理法的意义与作用
公理化方法是加工、整理知识,建立科学理论的工具,公理系统的形成是数学分支发展的新起点。
公理化方法有助于发现新的数学成果,可以探索各个数学分支的逻辑结构,发现新问题,促进和推动新理论的创立和发展。
公理化方法是建立某些抽象学科的基础。
公理化方法对各门自然科学的表述具有积极的借鉴作用。
公理化方法对于学生理解和掌握数学知识、数学方法及培养学生逻辑思维能力具有重要作用。
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公理化方法举例
数概念及其理论的公理化整理,自然数建立在皮亚诺公理之上,整数集建立在自然数之上,有理数建立在整数集之上,实数集建立在有理数集之上,复数集建立在实数集之上。
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自然数
皮亚诺公理:集合N如果满足下列一组公理,那么N叫做自然数集,N的元素叫做自然数。
(1)1∈N;
(2)对N中每一个元素n,在N中有且仅有一个确定的后继元;
(3)对N中任意元素n, ≠1;
(4)对N中任意两个元素n,m,如果,那么n=m;
(5)归纳公理:如果N的子集M满足①1∈M,②当n∈M时, ∈M,那么M=N。
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自然数
在N上定义加法:f:N×N→N
(n,m) →n+m
满足:(1)n+1 =
(2)n+ =
在N上定义乘法:f:N×N→N
(n,m) →n·m
满足:(1)n·1=n
(2)n· =n·m+n
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