文档介绍：专题 9 公理化方法的四个发展阶段
每一科学理论包括一组概念和一组真的命题。当对某一概念的涵义有疑问时,我们就通
过另外一些概念来刻划它,这就是定义。同样,当对某一命题的真实性有疑问时,我们就从
其他一些已知为真的命题根据演绎推理的规则把它推演出来,这就是证明。在数学中,一般
要求概念都要是明确定义了的,命题(定理)都要是经过证明的。但是,定义和证明必须有
它们的出发点, 否则就会发生 “恶性循环” 。因此, 我们必须选出少数不加定义的概念和不加
证明的命题作为出发点。这些不加定义的概念,称为原始概念;由原始概念定义的概念,称
为定义概念。不加证明的命题,称为原始命题或公理;从公理推演出来的命题,称为定理。
公理化方法就是运用严格的逻辑演绎规则,从原始概念和公理出发,定义其他一切概念,推
演出其他一切定理,从而建立理论体系的方法。从历史上看,公理化方法的发展大体上经历
了四个阶段:实质公理系统,从实质公理系统向形式公理系统的过渡,形式公理系统,以形
式系统为研究对象的元数学。
一、实质公理系统
:公理化方法的开端
希腊人建立公理化的演绎数学体系的主要历程
⑴ 泰勒斯 (Thales ,约 624 ~ 547 .) ,把“证明”引入数学
泰勒斯是古希腊哲学、科学鼻祖,他所创立的爱奥尼亚学派是古希腊哲学、科学思想的
源头。他认识到数学需要证明,并最早给出一批数学命题的证明。这是使数学由经验上升到
理论的最早努力,真正意义上的数学科学由此发端。
⑵ 毕达哥拉斯 (Pythagoras ,约 572 ─ 497 .) ,发展证明思想与方法
命题的逻辑证明。注意到数学证明的逻辑顺序。对数与图形的广泛研究。不可通约量的
发现。
⑶ 希波克拉底 (Hippocrates of Chios ,公元前 5 世纪 ) ,引入“公理”的思想
⑷ 柏拉图 ( Plato) 学派 ( 活跃于公元前 4 世纪 ) ,发展公理及证明方法
圆锥曲线:梅内克莫斯 (Menaechmus ,公元前 4 世纪 ) ,因研究倍立方体问题而引入,
用三种圆锥 [ 直角,锐角,钝角的 ] 及垂直于锥面一母线的平面截割生成。
不可通约量的分类:泰阿泰德( Theaetetus ),收入欧几里得《原本》第十卷。在二次幂
中可通约的不可通约量;在二次幂中不可通约的不可通约量。
对五种正多面体的研究:收入欧几里得《原本》第 13 卷。
公理化方法及证明方法的发展。
⑸ 攸多克色斯( Eudoxus ,约 408 ~ 355 . ),量的公理,用公理化方法重建比例理论
① 借助于五条公理建立了量的概念。
② 引入了对等公理( Eudoxus-Archimedes 公理 ) :如果能把两个量 a 、 b 的任一量倍增后
超过另一个量,则 a 、 b 有一个比。
⑹ 亚里士多德 ( Aristotle , 384~322 .) ,逻辑学
对公理体系的进一步讨论。对无穷的讨论。创立逻辑学。
⑺ 欧几里得 (Euclid ,约 330 ~ 275 .) ,《原本》,实质公理系统
第 1 篇中的部分定义: 1. 点是没有部分的那种东西。 2. 线是没有宽度的长度。 3. 一线
的两端是点。 4. 直线