文档介绍：浅谈函数的对称性
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[关键词]高中数学函数对称性
函数是高中数学的核心内容,也是整个高中数学的基础,是高考考查的重点与热点。函数的对称性是函数的一个常见性质,图像的对称关系充分体现了数学之美,利用对称性往往能简捷地解决一些数学问题。
一、函数对称性常用性质
函数的对称性一般体现在中心对称和轴对称。函数的奇偶性和周期性就是对称性的直接体现,常见的有以下结论。
【性质1】函数y=f(x)的图像关于原点O(0 ,0)对称f(x)=-f(-x)。(这是奇函数的数与形的体现)。
推论1:函数y=f(x)的图像关于点M(a,b)对称f(x)+f(2a-x)=2b
证明:因为函数y=f(x)的图像关于点M(a,b)对称,所以函数y=f(x)的图像按向量a=(-a,-b)平移后对应图像的解析式为:y=f(x+a)-b,关于原点0(0,0)中心对称,由性质1知f(-x+a)-b=-[f(x+a)-b],即f(a-x)+f(a-x)=2b,即f(x)+f(2a-x)=2b。反之也成立。
推论2:函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点M(a ,b)成中心对称。
【性质2】函数y = y=f(x)的图像关于y轴对称f(x)=f(-x)。(这是偶函数的数与形的体现)。
推论3:函数y=f(x)的图像关于直线x = a轴对称f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x)。
证明:因为y=f(x)的图像关于直线x = a对称,所以函数y=f(x)的图像按向量a=(-a,0)平移后图像的解析式为:y=f(x+a),关于y轴对称,由性质2知f(x+a)=f(-x+a),即f(a+x)=f(a-x),即f(a+x)=f(a-x)。反之也成立。
推论4:函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x = a成轴对称。
【性质3】函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线y=x成轴对称。
推论5:函数y=f(x)与x-a=f(y+a)的图像关于直线x-y=a成轴对称。
证明:x-y=a可以看作y=x-a,x=y+a,代入到y=f(x)中即得。反之也成立。
推论6:函数y=f(x)与a-x=f(a-y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。
【性质4】
①若函数y=f(x)的图像关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。
②若函数y=f(x)图像关于直线x = a 和直线x = b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期。
③若函数y=f(x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x=b成轴对称(a≠b),则y = f (x