文档介绍：第三章复变函数的积分
复变函数积分的概念
有向曲线
平面中带有方向的曲线称为有向曲线,若规定起点到终点为正方向,那么从终点到起点的方向就为负方向,相应的曲线记为,简单闭曲线的正方向规定为当曲线上的点P顺此方向沿曲线前行时,邻近P点的曲线内部始终位于点P的左方,与之相反的方向就是曲线的负方向.
积分定义
设函数定义在区域内, 为区域内起点为终点为的一条光滑的有向曲线,把曲线
任意分成个弧段,设分点为
是弧段上任意一点,若不论对的分法和对的取法如何,当分点无限增多,而这些弧段长度的最大值趋于零时,和式
的极限唯一存在,则称此极限为函数
沿曲线从到的积分,记作,
即
如果为闭曲线,那末沿此闭曲线的积分记作.
积分存在的条件及其计算方法
1) 当是连续函数且是光滑(或按段光滑)曲线时,积分是一定存在的。
2) 可以通过两个二元实变函数的积分来计算。
设由参数方程给出,则
若是由等光滑曲线段依次相互连接所组成的按段光滑曲线,则定义
今后所讨论的积分,若无特殊说明,总假定被积函数是连续的,曲线是按段光滑的.
例1计算,其中为从原点到点直线段。
解直线的方程可写成,
或
于是
又因为
容易验证,右边两个线积分都与路线无关,
所以的值无论是怎样的曲线都等于
例3计算的值,其中为沿从(0,0)到(1,1)的线段:
解
例4计算的值,其中为沿从(0,0)到
(1,0)的线段与从(1,0)到(1,1)的线
段所连结成的折线。
解
积分的性质 从积分的定义我们可以推得积分有下列一些简单性质,它们是与实变函数中曲线积分的性质相类似的.
1、;
2、
3、;
4、设曲线的长度为,函数在上满足,那么
柯西—古萨(Cauchy—Goursat)基本定理
如果函数在单连通域内处处解析,那末函数沿内的任何一条封闭曲线
的积分值为零。即
基本定理的推广-复合闭路定理
闭路变形原理
在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.
复合闭路定理
设为多连通域内的一条简单闭曲线,
是在内部的简单闭曲线,它们互不包含也互不相交,并且以
为边界的区域全含于.