文档介绍：黄先开
辅导地位:历届考生公认的“线性代数第一人”,北京理工大学应用数学系硕士,中国科学院数学与系统科学研究院获博士,美国哈佛大学访问学者,现任北京工商大学数学系主任、教授。
授课特点:理论扎实,表达独到,基础为纲,技巧为器,言简意赅,重点突出,伐毛洗髓,效果极佳
名师风采:曾被评为北京市优秀青年骨干教师;1997年被授予“有突出贡献的部级青年专家”称号;曾在国内外一级刊物上发表论文30余篇,单独完成以及合作完成数学专著10多部。
加强计算能力训练注重综合思维能力培养
——谈考研线性代数复****br/>考研数学名师黄先开
众所周知,教育部考试中心研究生入学考试命题的基本原则是:严格按照考试大纲规定的考试内容与考试要求命题,试题以考查基本概念、基本原理和基本方法为主,要加强对考生的运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力和综合应用所学知识解决实际问题能力的考查.
根据这一命题原则并结合线性代数这门学科的特点,我认为考生在备考阶段的复****一方面要重视“三基”,通过全面系统的复****扎扎实实把基础打好;另一方面要注重能力的培养,,没有基础,其他方面都无从谈起,但较好地把握了基础后,想要进一步有所提高,:一是试题的计算量偏大,无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解,还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算,稍有不慎,即会出错;二是前后内容紧密相连,纵横交织,既相对独立又密不可分,形成了一个完整、独特的知识体系.
在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下,下面谈谈在复****过程中应注意的一些问题.
一、加强计算能力训练,切实提高计算的准确性
相当一部分同学在复****做题过程中会有这样的体会:对问题所涉及的概念、原理都很清楚,计算方法也知道,但就是无法算出正确答案来,或是计算有误,或是根本无法演算下去,造成不应有的丢分.
例1 (2003年数学三)已知齐次线性方程组
其中试讨论满足何种关系时,
(1)方程组仅有零解;
(2)方程组有非零解,在有非零解时,求此方程组的一个基础解系.
分析本题思路方法比较直接:当系数矩阵的行列式不为零时,仅有零解;当系数矩阵的行列式等于零时,、初等变换化矩阵为阶梯形以及求基础解系等大量的计算问题,特别是含有多个参数,进一步增加了计算的难度.
解方程组的系数行列式
(1)当;
(2)当b=0时,原方程组的同解方程组为
由可知ai(i=1,2,…,n)不全为零,(A)=1,取为自由未知量,可得方程组基础解系为
…,
当,系数矩阵可化为

由于秩r(A)=n1,易知Ax=0的基础解系为
评注1 本题行列式的计算方法很多,例如,系数矩阵可表示为
而r(B)=1,可方便地求出B的特征值为0,0,…,0,于是的特征值为
从而根据特征值可求出行列式为
评注2 当时,注意到系数矩阵A的秩为r(A)=n-1,而显然为Ax=0的一个解,即可作为基础解系.
例2 (2003年数学一)设矩阵的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.
分析本题是基础题型,思路非常明确:先求A*及,然后计算B=P-1A*P及B+2E,最后求B+2E的特征值、特征向量,但计算量大,稍有疏忽,将很难得到最终的正确结果.
解由又由可得
于是
根据
可知B+2E的特征值为
解[9E-(B+2E)] x =0,得基础解系为因此属于的所有特征向量为是不全为零的任意常数.
解[3E(B+2E)] x =0,得基础解系为为非零的任意常数.
评注本题直接计算, α=α,有
若求出A的特征值及对应特征向量α, 则B+2E的特征值为及对应特征向量P-1
α这样就不必求A*. 且根据的特征值为0,0,6,从而A的特征值为1,1,7.
二、扩展公式结论蕴涵,努力探索灵活解题途径
线性代数概念多,公式、定理也多,巧妙地利用已有的公式与结论,往往可以达到简化计算的目的.
例如有关A*的公式结论有:AA*= A*A=|A|E,由此还可推出一系列相关的公式:

(2)若A可逆,则A *=| A | A -1, (A*)-1
(3)
(4)
(5) 若A可逆,且为A的特征值,则A*有一个特征值为.
例3 (2000年数学一)设矩阵A的伴随矩阵,且ABA-1=BA-1+3E,其中E是4阶单位矩阵,求矩阵B.
*求出A-1及A,再代入已知关系式求B,*有关,若先用A*A=AA*=|A|E化简,则方便得多.
解由