文档介绍：西安科技大学
第二章参数估计
估计废品率
估计新生儿的平均体重
估计湖中鱼数
……
估计平均降雨量
参数估计问题
参数型统计问题
总体分布形式已知时,总体参数的估计问题
非参数型统计问题
总体分布形式未知时,总体参数的估计问题
参数估计的方式:点估计、区间估计
来估计总体的某些参数或者参数的某些函数.
参数估计问题就是利用从总体抽样得到的信息,
在参数估计问题中,假定总体分布形式已知,
未知的仅仅是一个或几个参数.
点估计
例已知某地区新生婴儿的体重 X ~ N(, 2), , 2未知,
随机抽查100个婴儿,
得100个体重数据
10, 7, 6, , 5, , …
如何据此估计和 2呢?
全部信息就是这 100 个数.
为估计的值, 我们需要构造出适当的样本的函数(X1, X2,…Xn ),
^
使用什么样的统计量去估计?
也可用样本中位数等,
问题是:
即得到的一个估计值.
对于确定的一组样本值, 代入函数(X1, X2,…Xn )中算出一个值,
^
^
对于待估参数:
对于待估参数:
可用样本方差等,
可用样本均值;
点估计
x1, x2,…xn 是其一组样本值,
定义1
设 X1, X2,…Xn 是来自总体 X 的样本,
如果总体的分布类型已知,
是总体的未知参数,
则称用以估计参数的统计量(X1, X2,…Xn )为参数的点估计量,
^
简称估计量.
(x1, x2,…xn )称为的点估计值,
^
或估计值.
i
i
i
i
i
i
i = 1, 2, …, l .
参数取值范围——参数空间.
.
寻求估计量的方法
矩估计法
极大似然法
最小二乘法
贝叶斯方法
……
这里我们主要介绍前面两种方法.
进而由此确定待定参数的估计值.
一、矩估计法
其基本思想是用样本矩估计总体矩.
理论依据?
它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法.
是英国统计学家 K. 皮尔逊最早提出的.
——辛钦大数定律
仍是独立同分布的,
k 阶原点矩 Ak
采用相应的样本矩作为总体矩的估计量,
这种用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法就称为矩估计法
由此所得估计量称为矩估计量
即可得诸 E(X k)的矩估计量:
求矩估计量的具体步骤
且总体的前 l 阶原点矩 E(X k)(k=1, 2, …, l )存在,
设总体 X 的分布函数 F( x ; 1, 2 ,…, l )中含有 l 个未知参数 1, 2 ,…, l ,
则它们应是这 l 个参数的函数:
又样本 X1,X2,…, Xn 的样本 k 阶原点矩为
k=1, 2, …, l
从这 l 个方程中可解得矩估计值为:
令总体矩 E(X k) 等于其相应的样本矩 Ak ,
X1,X2,…, Xn 是总体 X 的样本,
k=1, 2, …, l
矩
估
计
法
解注意到只有一个未知参数,
求的矩估计量.
只需一个方程,
例1 设总体 X 的密度为
为未知参数, X1, …, Xn 是总体 X 的一个样本,
由矩估计法知
即得的矩估计量为
数学期望是一阶原点矩
令总体原点矩等于样本矩
样本矩
总体矩
解
解之得
若总体的一、二阶原点矩都存在,
令总体矩等于样本矩
例2 设总体 X 的均值和方差分别为与 2,
(均未知),
求与 2 的矩估计量.
X1, X2,…, Xn 是总体 X 的样本,
需要两个方程,
由矩估计法知
所以所求的矩估计量为
= B 2
当=1时, X 的概率密度为
令
解之得
∴的矩估计量为
求=1 时, 未知参数的矩估计量.
其中参数> 0, > 1,
例3 设 X 的分布函数为
X1, X2,…, Xn 是总体 X 的样本,
解