文档介绍：函数可积与存在原函数的关系
本文在区间[a,b]上讨论函数存在定积分与存在原函数的关系。得出的结果是两者之间没有必然联系,存在定积分不一定存在原函数,存在原函数也不一定存在定积分。本文主要给出两个反例。
存在定积分但不存在原函数的例子
定义函数如下:
该函数显然有界,x=1/2为其唯一的间断点(而且是第一类的),因而可积,。但因为其有第一类间断点,所以不存在原函数(这个结论是利用导函数连续性定理得出来的,关于这个定理见本文附录)。
可能有人会想到积分上限函数,它的积分上限函数不是原函数吗?我们看看它的积分上限函数,容易求得
显然它的导数并不是f(x),而是f(x)在x=1/2处作连续开拓后的函数。关于积分上限函数和原函数之间的关系问题,在学了实变函数这门课后将会变得很简单,这里不再深入讨论。
存在原函数但不存在定积分的例子。
定义函数如下:
首先证明,这个函数存在原函数,我们指出,下面这个函数就是它的原函数:
为此目的,只需证明对任何x[0,1]成立,而0<x1时该式的成立是显然的,关键是证明,这里的要理解为单侧导数。因为
,这表明存在,并且,这就证明了
是在原函数,即在原函数存在。
现在来考虑的定积分是否存在,其实容易看出它在闭区间[0,1]无界,因为任意,函数在区间(0,)无界,在这个区间上,是无穷小量和有界量的乘积,是无穷小量,但这一项却是在正无穷与负无穷之间反复振动的量,例如取,则其值为,但若取,则其值为,只要n充分大,便可使,同时却可以大于任何预先给定的正数。这就是说,任意,函数在区间(0,)无界,从而在闭区间[0,1]无界,而我们知道闭区间上的无界函数是不可积的,所以的定积分不存在。
综合上