文档介绍：线性代数复****总结
第一章:行列式
概念(1)全排列与逆序数.
(2)行列式:不同行不同列元素乘积的代数和(共项)
性质
经转置行列式的值不变
某行有公因子,可以把提到行列式外
某行所有元素都是两个数的和,则可写成两个行列式之和
两行互换行列式变号
某行的倍加到另一行,行列式的值不变
展开式
1、(按第行展开) (按第列展开)
2、
3、其中是中的代数余子式.
四、计算
1、化成上三角或下三角行列式
2、利用行列式的性质
3、利用行列式的展开式
4、用矩阵的性质,为阶方阵,则有,
, ,其中是方阵.
5、用特征值
第二章:矩阵
一、初等变换:
1、初等矩阵:单位阵经过一次初等变换所得的矩阵
2、初等矩阵左乘所得就是对作了一次与同样的初等行变换;初等矩阵左乘所得就是对作了一次与同样的初等列变换
3、任何矩阵都可以通过一系列初等行变换变成行阶梯型与行最简型矩阵
二、逆矩阵
1、证法:阶方阵可逆使得(或者)的特征值全不为零
2、求法:(1)用定义,找矩阵,使得,则
(2) 初等变换法
(3) 用伴随矩阵法,
(4)用分块矩阵法
3、矩阵方程
三、矩阵的秩
1、计算:用初等变换法,用定义法
2、性质
(1)为矩阵,则有
(2);如果可逆,则有
(3) 为阶方阵,则有;
四、矩阵运算的性质
(其中是数)
为阶方阵,则有,
方阵的幂
五、特殊矩阵
伴随矩阵,正交矩阵,对称矩阵,反对称矩阵,对角矩阵
第三章:向量
一、线性表示
向量可由向量组线性表示
存在数使得,
方程组有解(即是有解)
(即是)
二、线性相关与线性无关
1、向量组线性相关存在不全为零的数使得,
2、向量组线性无关如果则有
3、向量组线性相关(无关)方程组有非零解(只有零解)(即是有非零解(只有零解))
(即是)
其中
4、向量组,如果是方阵,则线性相关(无关)
三、最大无关组与向量组的秩
概念
求法:求向量组的秩及其最大无关组,令,然后对矩阵进行行初等变换,化到行阶梯型(或者行最简型),求出的秩,向量组的秩也是。
向量组的等价:互相表示
向量的正交,
与正交
第四章:线性方程组
(以下为矩阵,方程组为元方程组)
一、基本结论
1、只有零解;有非零解
2、如果是阶方阵,则只有零解;有非零解
3、)有唯一解
有无穷解
无解
4、如果是阶方阵,则有唯一解且有,其中是系数行列式中把第列改为常数列,其他不变.(克莱姆法则)
二、基础解系,解得结