文档介绍：1 1
第
卷第期力学进展∋/ 0
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双曲型守恒律的高阶高分辨有限体积法
李荫藩
,
中国科学院计算数学与科学工程计算研究所北京
! ! ! 5!
宋松和
国防科技大学理学院数学与系统科学系, 长沙 6
! ! 7
周铁
北京大学数学科学学院, 北京
! ! 5 7
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摘要有限体积法是一种离散积分形式守恒律的数值方法它可以吸收有限元法和有限差分法的
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一些重要思想与技巧由于它可方便地利用多种类型的网格∀结构网格和非结构网格#, 从而非常适用
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于处理复杂计算区域, 目前已成为一种在计算流体力学中十分重要的方法本文将针对二维双曲守
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衡律, 对高精度、高分辨的有限体积法及其近年来的进展做一简要介绍
关健词双曲守恒律, 有限沐积法, 结构网格, 无结构网格, 高精度、高分辫格式
引言
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双曲型守恒律的积分形式仅当解是充分光滑时, 才能化约为等价的微分形式例如对无勃
、 1
非定常流动, 其积分守恒律表示在由一表面限定的体积内流体的质量动量和能量的守恒对于
,
光滑解从积分守恒律可以得到散度形式的微分守恒律∗ 809 : 方程但在流场中如出现激波
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等间断时, 就不能得到等价的偏微分方程故积分型的守—恒律是更根本的鉴于对非线性双曲型
守恒律来说, 无论初值多么光滑, 其解都可能产生强间断, 因此如何得到在间断附近和光滑区域
, 1
都具有高精度的解成为双曲型守恒律数值解的关键有限体积方法伍; <= 9 >4 0 ≅ 9= Α4 Β#, 简
, ? 1
称Χ∋−就是在物理空间中选定的控制体积上把积分型守恒律直接离散的一类数值方法离散
,
一方面是指把计算区域剖分成网格∀或单元# 另一方面是指把积分守恒律离散成线性或非线性
1 ,
代数方程组与此对比有限差分方法则是从微分型式守恒律或等价的偏微分方程∀Δ& ∗# 出发
, , ,
进行离散的一类数值方法它直接在网格结∀节# 点上离散Δ& ∗中的各个导数项不考虑间断
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在光滑区和间断处采用统一格式求解使间断∀激波等# 在应出现的地方自动呈现或被捕捉因
、
此, 有限差分方法使用起来简便灵活, 有高度的通用性, 其计算公式又是程式化了的, 便于
, , 1
程序化易于在计算机上实现因此也称差分格式自从
Ε∃! 年>4 ; ( 9 80; 和凡ΦΑ= :0 】
, ?1 ≅39
的经典论文发表以来非线性双曲型守恒律的有限差分方法得到了飞速发展在计算流体力学
中, 由于某些物理量, 例如压力和密度, 根据其定义一定是非负的, 因此要求数值解法具有一定
, :
的单调性性质这就导致从 5! 年代开始的以Γ> & ∀Γ4 = 20 、:2 <2= <4 ; &< ? ΗΑ<;Ι# 格式为代表的
收稿日期ϑ! ! ! 一! 孚
! , 修回日期ϑ! ! !Κ! ΕΚ! Λ
Μ北京应用物理与计算数学研究所实验室资助
6 ∃
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高分辨方法的研究热潮【、∃】所谓高分辨格式是指在解的光滑区域至少有二阶精度, 而且激波
, 1 , ,
过渡陡峭不产生非物理振荡但是为保障具有Γ> & 性质这些格式在局部极值点精度都会
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降至一阶特别是Ν 4 Β≅ 2; 和Ο 9 >9 Π8 9ΘΛ
证明了在多维情形不存在高于一阶的Γ> & 格式为
, ,
克服Γ> & 格式的这种缺点. 2: 七9; 等Θ>
放宽对Γ> & 格式的单调性限制允许总变差微小增
, , ,
加提出了∗( Ρ∀∗ΗΗ9 ;= <20 3 ( 4 0Κ 4ΗΦ< 82= 4 :3 #型格式它可达到一致高阶精度并能剔除Ν< / /Η
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现象, 但允许在截断误差阶上的非物理振荡有限差分法在求解非线性双曲型守恒律问题中, 如
, , ,
在计算流体力学中取得了很大成功得到了广泛的应用但总的说来它要求计算网格节点分布
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比较规则而不适用于复杂的ΣΟ’何形状求解区域从有限体积法的离散思想显见它自动满足离
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散守恒律, 因而是守恒律的一种最自然的离散方法更重要的是它可方便地利用各种类型的网
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格∀结构网格和非结构网格# 从而适用于复杂几何形状的求解区域它还可以吸收有限元中对函
, , 、
数分片近似的思想以及有限差分方法的一些思想如近似凡9 ≅解算器∗( Ρ等来发展
、 1 ? ,
高精度高分辨有限体积方法它综合了有限元法和有