文档介绍：双曲线性质的推广
学生姓名:曹志孟学号:
数学与信息科学学院数学与应用数学
指导老师:胡余旺职称:教授
摘要:双曲面是由双曲线绕实轴或虚轴旋转后再进行伸缩变换而得到的曲面,从双曲线变到双曲面后,双曲线的许多性质也可以继续得到推广,本文将重点讨论双曲线的性质在双曲面中的推广及其应用.
关键词:双曲线双曲面性质推广
Some characters extension from hyperbola to hyperboloid
Abstract:The hyperboloid can be got from hyperbola when we stretch hyperbola around its real axis or imaginary axis .The characters of hyperboloid is similar to hyperbola , so some of them are extended from hyperbola .In this paper, we mainly discuss those extension
Key words:Hyperbola Hyperboloid Character extension
前言
双曲线与双曲面在实际生活中的应用是非常广泛的,目前,人们对双曲线与双曲面的性质都有很多的发现,而双曲面的许多性质是由双曲线推广得到的,在科学技术日新月异的今天,也促使我们对双曲线的性质有进一步的探索、推广,研究双曲线已有的性质以及双曲面的生成过程,找到双曲线与双曲面之间的联系,并在此基础上进一步挖掘,使双曲面的性质更加完善,.
我们把平面内与两个定点F、F 的距离差的绝对值等于常数(小于| FF|)的点的轨迹叫双曲线.
双曲线的标准方程(以轴为实轴)为:-=1().
将双曲线沿虚轴(轴)旋转,得到旋转单叶双曲面,再将图形向
平面伸缩(设比例为),得到新的曲面便是单叶双曲面.
单叶双曲面的标准方程是+-=1,
当时,是旋转单叶双曲面-=1.
将双曲线沿实轴(轴)旋转,得到旋转双叶双曲面,再将图形向平面伸缩(设比例为),得到新的曲面便是双叶双曲面.
双叶双曲面的标准方程是+-=-1,
当时,是旋转双叶双曲面.
图1 双曲线图2 单叶双曲面图3 双叶双曲面
2、性质的推广
定义的推广
,在三维空间中,首先验证一下一动点到两定点的距离之差等于轨迹是否是双曲面.
解:设动点的坐标为,两定点的坐标为,根据题意有等式成立,因而
因,令,则轨迹方程为,它是旋转双叶双曲面.
由此可见,双曲线的定义从二维推广到三维后只适合旋转双叶双曲面.
对称性
双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的,坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心,由单叶双曲面和双叶双曲面的图形和方程都可以得出他们表示的曲面关于三个坐标平面,三个坐标轴及坐标原点都是对称的,因此原点是他们的对称中心,坐标轴是他们的对称轴,,对称性推广到三维后仍然适用.
顶点
双曲线(