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思维特训(九) 一线三等角模型的应用-精选学习文档.pdf

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思维特训(九) 一线三等角模型的应用-精选学习文档.pdf

上传人:小屁孩 2024/9/19 文件大小:525 KB

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文档介绍:该【思维特训(九) 一线三等角模型的应用-精选学习文档 】是由【小屁孩】上传分享,文档一共【7】页,该文档可以免费在线阅读,需要了解更多关于【思维特训(九) 一线三等角模型的应用-精选学习文档 】的内容,可以使用淘豆网的站内搜索功能,选择自己适合的文档,以下文字是截取该文章内的部分文字,如需要获得完整电子版,请下载此文档到您的设备,方便您编辑和打印。:..思维特训(九)一线三等角模型的应用-精选学习文档--第1页思维特训(九)一线三等角模型的应用方法点津·一线三等角模型的特征:如图9-Y-1,两个等角∠1,∠2的一边在同一直线AB上,另一边在直线AB的同侧,第三个与它们相等的角∠3的顶点在直线AB上,角的两边(或两边所在的直线)分别与两等角的非共线边(或该边所在的直线)相交(即在直线AB同侧有∠1=∠2=∠3),则有△ACD∽△△ACD和△BEC中有一边对应相等,-Y-1一线三等角模型的推导:如图9-Y-1,∵∠3+∠ECB=∠1+∠ADC,∠3=∠1,∴∠ECB=∠∵∠1=∠2,∴△ACD∽△·-Y-2,在边长为9的等边三角形ABC中,BD=3,∠ADE=60°,-Y--Y-3,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D是BC的中点,∠EDF=∠:(1)=;CDDF(2)△BDE∽△-Y--Y-4,在△ABC中,BA=AC,P,D分别是BC,AC边上的点,且∠APD=∠B.(1)求证:AC·CD=CP·BP;(2)若BA=10,BC=12,当PD∥BA时,-Y--Y-5所示,折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知EC=3cm,FC=4cm,-Y--Y-6,已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=3,E为射线BC上的一个动点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点B′处,过点B′作AD的垂线,分别交AD,BC于点M,N,当点B′为线段MN的三等分点时,-Y-:如图9-Y-7,在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A,B重合),分别连接ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把点E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点;如果这三个三角形都相似,:(1)如图9-Y-7,∠A=∠B=∠DEC=55°,试判断点E是不是四边形ABCD的边AB上的相似点,并说明理由;(2)如图9-Y-8,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长均为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E;第1页思维特训(九)一线三等角模型的应用-精选学习文档--第1页:..思维特训(九)一线三等角模型的应用-精选学习文档--第2页拓展探究:(3)如图9-Y-9,将矩形ABCD沿CM折叠,,-Y-7图9-Y-8图9-Y--Y-10,△AOB是直角三角形,∠AOB=90°,OB=2OA,点A在反比例函1k数y==的图象上,则k的值为()xx图9-Y-10A.-.--Y-11,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=(x-m)2-m2+m的顶点为A,与y轴的交点为B,连接AB,AC⊥AB交y轴于点C,延长CA到点D,使AD=AC,连接BD,作AE∥x轴,DE∥y轴.(1)当m=2时,求点B的坐标;(2)-Y--Y-12①,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,AB平行于x轴,OA=2OB,AB=5,反比例函数的图象经过点A.(1)直接写出反比例函数的解析式;(2)如图②,点P(x,y)在(1)中的反比例函数图象上,其中1<x<8,连接OP,过点O作OQ⊥OP,且OP=2OQ,连接PQ,设点Q的坐标为(m,n),其中m<0,n>0,求n与m之间的函数解析式,并直接写出自变量m的取值范围;(3)在(2)的条件下,若点Q的坐标为(m,1),求△-Y-12第2页思维特训(九)一线三等角模型的应用-精选学习文档--第2页:..思维特训(九)一线三等角模型的应用-精选学习文档--:∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,AB=BC,∴CD=BC-BD=9-3=6,∠DAB+∠ADB=120°.∵∠ADE=60°,∴∠ADB+∠EDC=120°,∴∠DAB=∠∵∠B=∠C=60°,∴△ABD∽△DCE,ABBD93∴=,即=,DCCE6CE解得CE=2,故AE=AC-CE=9-2=:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠EDF=∠B,∴∠EDF=∠B=∠C.∵∠EDC=∠B+∠BED,∠EDC=∠EDF+∠FDC,∴∠BED=∠FDC,∴△BED∽△CDF,BEDE∴=.CDDF(2)∵D是BC的中点,∴BD=(1)得=,∴=,CDDFBDDFBEBD即=.DEDF又∵∠B=∠EDF,∴△BDE∽△:(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠APD=∠B,∴∠APD=∠B=∠C.∵∠APC=∠BAP+∠B,∠APC=∠APD+∠DPC,∴∠BAP=∠DPC,∴△ABP∽△PCD,BPBA∴=,CDCP∴BA·CD=CP·BP.∵BA=AC,∴AC·CD=CP·BP.(2)∵PD∥BA,∴∠APD=∠BAP.∵∠APD=∠B=∠C,∴∠BAP=∠(九)一线三等角模型的应用-精选学习文档--第3页:..思维特训(九)一线三等角模型的应用-精选学习文档--第4页又∵∠B=∠B,∴△BAP∽△BCA,BABP∴=.BCBA∵BA=10,BC=12,10BP25∴=,∴BP=.[解析]由折叠可知,∠AFE=∠D=90°,DE=△EFC中,EF=EC2+FC2=32+42=5,∴DE=EF=5,∴AB=DC=DE+EC=5+3=8.∵∠AFE=∠B=∠C=90°,∴∠AFC=∠B+∠BAF=∠AFE+∠CFE,∴∠BAF=∠CFE,∴△ABF∽△FCE,ABBF8BF∴=,∴=,FCCE43∴BF=6,∴BC=6+4=10,∴矩形ABCD的周长为8+10+8+10=36(cm).[解析]本题分两种情况讨论:25(1)若B′N=2MB′,如图①.因为AB=3,B′为线段MN的三等分点,所以MB′=1,B′NAMAB′=△AMB′中,AM=32-12=△AMB′∽△B′NE,所以=,设BE=B′EB′NB′E22332=x,则=,解得x=;2x2(2)若MB′=2B′N,如图②.因为AB=3,B′为线段MN的三等分点,所以MB′=2,B′NAMAB′=△AMB′中,AM=32-22=△AMB′∽△B′NE,所以=,设BE=B′EB′NB′E5335=x,则=,解得x=.1x53235综上所述,:解决问题:(1):∵∠A=55°,∴∠ADE+∠DEA=125°.∵∠DEC=55°,∴∠BEC+∠DEA=125°,∴∠ADE=∠∵∠A=∠B,∴△ADE∽△BEC,∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点.(2)作图如下:拓展探究:第4页思维特训(九)一线三等角模型的应用-精选学习文档--第4页:..思维特训(九)一线三等角模型的应用-精选学习文档--第5页(3)∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点,∴△AEM∽△BCE∽△ECM,∴∠BCE=∠ECM=∠:△ECM≌△DCM,∴∠ECM=∠DCM,CE=CD,1∴∠BCE=∠BCD=30°,311∴BE=CE=△BCE中,设BE=x(x>0),则CE=2x,∴BC=CE2-BE2=(2x)2-x2=3x,BE3∴=,BC3AB23∴=.[解析]如图,过点A,B分别作AC⊥x轴,BD⊥x轴,垂足分别为C,(m,n),则AC=n,OC=m.∵∠AOB=90°,∴∠AOC+∠BOD=90°.∵∠DBO+∠BOD=90°,∴∠DBO=∠AOC.∵∠BDO=∠ACO=90°,∴△BDO∽△OCA,BDODOB∴==.OCACOA∵OB=2OA,∴BD=2OC=2m,OD=2AC=2n,∴点B的坐标是(-2n,2m).1∵点A在反比例函数y=的图象上,∴mn=∵点B在反比例函数y=的图象上,点B的坐标是(-2n,2m),x∴k=-2n·2m=-4mn=-:(1)当m=2时,y=(x-2)2-2,把x=0代入y=(x-2)2-2,得y=2,∴点B的坐标为(0,2).(2)延长EA交y轴于点F.∵AD=AC,∠AFC=∠AED=90°,∠CAF=∠DAE,∴△AFC≌△AED,∴AF=AE.∵点A(m,-m2+m),点B(0,m),∴AF=AE=|m|,BF=m-(-m2+m)=m2.∵∠ABF=90°-∠BAF=∠DAE,∠AFB=∠DEA=90°,∴△ABF∽△DAE,第5页思维特训(九)一线三等角模型的应用-精选学习文档--第5页:..思维特训(九)一线三等角模型的应用-精选学习文档--第6页BFAE∴=,AFDEm2|m|即=,∴DE=1.|m|:(1)∵∠AOB=90°,∴OA2+OB2=AB2.∵OA=2OB,AB=5,∴4OB2+OB2=25,解得OB=5,∴OA=25.∵AB平行于x轴,∴OC⊥AB,∴OC·AB=OB·OA,5×25即OC==△AOC中,AC=OA2-OC2=4,∴点A的坐标为(4,2).k设过点A的反比例函数的解析式为y=(k≠0),x则k=4×2=8,8∴反比例函数的解析式为y=.x(2)分别过点Q,P作x轴的垂线,垂足分别为D,H,如图.∵QD⊥x轴,PH⊥x轴,∴∠QDO=∠OHP=90°,∴∠POH+∠OPH=90°.∵OQ⊥OP,∴∠POH+∠QOD=90°,∴∠QOD=∠OPH,∴△OQD∽△POH,OHPHOP∴==.QDODOQ∵点P(x,y)在(1)中的反比例函数图象上,其中1<x<8,点Q的坐标为(m,n),其中m<0,n>0,OP=2OQ,∴PH=y,OH=x,OD=-m,QD=n,xy∴==2,n-m∴x=2n,y=-∵y=,∴2n·(-2m)=8,x∴mn=-2,-21即n=(-4<m<-).m2(3)∵当n=1时,m=-2,第6页思维特训(九)一线三等角模型的应用-精选学习文档--第6页:..思维特训(九)一线三等角模型的应用-精选学习文档--第7页∴点Q的坐标为(-2,1),∴OQ=12+22=5,∴OP=2OQ=25,1∴S=×5×25=5.△POQ2第7页思维特训(九)一线三等角模型的应用-精选学习文档--第7页