文档介绍：导数及其应用
(1)
(2)
(3)f′(x0)与f′(x)的关系.
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是曲线y=f(x)
在点(x0,f(x0))=f′(x0).
(2)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为
y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
(3)导数的物理意义:s(t)=v(t),v(t)=a(t).
(1)基本初等函数的导数公式
回顾
(2)导数的四则运算法则
①[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x).
②[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x).
③
(3)复合函数求导
复合函数y=f(g(x))的导数和y=f(u),u=g(x)的导数
之间的关系为yx′=f′(u)g′(x).
(1)在区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数
f(x)在区间(a,b)上单调递增.
在区间(a,b)内,如果f′(x)<0,那么函数f(x)
在区间(a,b)上单调递减.
(2)求极值的步骤
①先求定义域再求f′(x);②求f′(x)=0的根;③判定根两侧导数的符号;④下结论.
(3)求函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小
值的步骤
①求f′(x);
②求f′(x)=0的根(注意取舍);
③求出各极值及区间端点处的函数值;
④比较其大小,得结论(最大的就是最大值,最
小的就是最小值).
一、导数几何意义的应用
例1 (2008·海南理,21)设函数
(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的
切线方程为y=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:函数y=f(x)的图象是一个中心对称
图形,并求其对称中心;
(3)证明:曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1
和直线y=x所围三角形的面积为定值,并求出此定
值.
思维启迪(1)先求f′(x).再由f′(2)=0,f(2)=3.
解得a,b.
(2)利用图象的对称和平移变换求解.
(3)先求过曲线上任一点(x0,y0)的切线方程,
然后将面积用点(x0,y0)坐标表示,再用上点
(x0,y0)在f(x)上即得证.
(1)解
因为a,b∈Z,故
(2)证明已知函数y1=x, 都是奇函数,
所以函数也是奇函数,其图象是以原点
为中心的中心对称图形.
而
可知,函数g(x)的图象按向量a=(1,1)平移,即得到
函数f(x)的图象,
故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称
图形.
(3)证明在曲线上任取一点
由知,过此点的切线方程为
令x=1,得
切线与直线x=1的交点为
令y=x,得y=2x0-1,
切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1);
直线x=1与直线y=x的交点为(1,1),
从而所围三角形的面积为
所以,所围三角形的面积为定值2.
探究提高求曲线切线方程的步骤是:
(1)求出函数y=f(x)在点x=x0的导数,即曲线
y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率;
(2)在已知切点坐标P(x0,f(x0))和切线斜率的
条件下,求得切线方程为y-y0=f′(x0)·(x-x0).
注意:①当曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线
平行于y轴(此时导数不存在)时,由切线定义可
知,切线方程为x=x0;
②当不知道切点坐标时,应首先设出切点坐标,
再求解.
变式训练1 (2009·启东模拟)已知函数f(x)
的图象在点M(-1,f(-1))处的
切线方程为x+2y+5=0.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)求函数y=f(x)的单调区间.
解(1)由函数f(x)的图象在点M(-1,
f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0,
知-1+2f(-1)+5=0,
即f(-1)=-2,