文档介绍：数学建模试题及答案
设某产品的供给函数与需求函数皆为线性函数:
其中为商品单价,试推导满足什么条件使市场稳定。
解:设Pn表示t=n时的市场价格,由供求平衡可知:
2分
即:
经递推有: 6分
表示初始时的市场价格
若。 10分
某植物园的植物基因型为AA、Aa、aa,人们计划用AA型植物与每种基
因型植物相结合的方案培育后代(遗传方式为常染色体遗传),经过若干代后,这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形?总体趋势如何?
依题意设未杂交时aa 、Aa、AA的分布分别为,杂交n代后分别为an (向为白分手)
由遗传学原理有:
4分
设向量
式中
递推可得:
对M矩阵进行相似对角化后可得:
其相似对角阵
从而
8分
当时,。 10分
试建立人口Logistic(逻辑)模型,并说明模型中何参数为自然增长率,为什么?
解:人口净增长率与人口极限以及目前人口均相关。人口量的极限为M,当前人口数量为N(t),r 为比例系数。建立模型:
4分
求解得到
6分
注意到当时,并说明r即为自然增长率。 10分
1968年,介壳虫偶然从澳大利亚传入美国,威胁着美国的柠檬生产。随后,美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者——澳洲瓢虫。后来,DDT被普通使用来消灭害虫,柠檬园主想利用DDT进一步杀死介壳虫。谁料,DDT同样杀死澳洲瓢虫。结果,介壳虫增加起来,澳洲瓢虫反倒减少了。试建立数学模型解释这个现象。
解:依据题意,设介壳虫的数量为x(t),澳洲瓢虫的数量为y(t),则有数模方程组:
(1)式中a b c f均大于零。 4分
解方程组(1)
得:
(3)
式(3)给出一族封闭曲线,显然x(t)、y(t)即为以下为周期(T>0)的周期函数,由于调查的虫子的数量为一个周期内的均值
则有
6分
当使用杀虫剂DDT后,设杀死介壳虫,,澳洲瓢虫
则有模型为:
显然此时有:
即介壳虫的数量增加,澳洲瓢虫的数量反而减小。 10分
根据水情资料, , 出现高水水情的概
,。位于江边的某工地对其大型施工设备拟定三个处置方案:
运走,需支付运费15万元。
修堤坝保护,需支付修坝费5万元。
不作任何防范,不需任何支出。
若采用方案(1),那么无论出现任何水情都不会遭受损失;若采用方案(2),则仅当发生洪水时,因堤坝冲垮而损失400万元的设备;若采用方案(3),那么当出现平水水位时不遭受损失,发生高水水位时损失部分设备而损失200万元,发生洪水时损失设备400万元。根据上述条件,选择最佳决策方案。
解:我们利用数学期望来评判方案的优劣:
运走-15
-5
A -15 修坝 B
-405
0
C -200
-400
E(A)=-15 (2分)
E(B)=×(-5)+×(-405)= -25 (5分)
E(C)=0×+(-200)×+×(-400)=-30 (8分)
所以-E(A)< -E(B)< -E(C),因而A方案是最佳决策方案。(10分)
某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10,15,25,20台同一规格的
柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如下表所示,如果生产出的柴油机当季不交货,每台积压一个季度需储存、,建立一个数学模型(不要求求解),要求在完成合同的情况下,使该厂全年生产(包括储存、维护)费用最小。
季度
生产能力(台)
三位成本(万元/台)
一
25
二
35
三
30
四
10
解:设为第季度生产的用于第季度交货的柴油机的台数,则由题意:
(3分)
又由生产能力的要求,有
(6分)
再设表示第季度生产的用于第季度交货的每台柴油机的实际成本,其值如下表:
1
2
3
4
1
2
3
11
4
设表示第j季度的生产能力,表示第季度的合同供应量,则建立本问题模型:
(10分)
考虑某地区影响青年生长发育主要因素分析。已知13岁至18岁各年龄组
的四项指标为——生长发育不良的比率;——五项身体素质不及格的比率;——营养不良比率;——患病比率,数据见下表:
年龄
13
14
15
16
17
1