文档介绍：山东省烟台市芝罘区数学2015-2016高三专题复****br/>-数列(2)求和及经典练****含答案)
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一、公式法:
利用以下公式求数列的和
1. (为等差数列)
2. ()或(为等比数列)
3.
4. 等公式
例已知数列,其中,记数列的前项和为,数列的前项和为,求。
解:由题意,是首项为,公差为的等差数列
前项和,
二、分组求和法
对于数列,若且数列、……都能求出其前项的和,则在求前项和时,可采用该法
例如:求和:
解:设
三、倒序相加法(或倒序相乘法)
将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个,Sn表示从第一项依次到第n项的和,然后又将Sn表示成第n项依次反序到第一项的和,将所得两式相加,由此得到Sn的一种求和方法。
例设,利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法,可求得的值为: 。
解:因为f(x)=,∴f(1-x)=
∴f(x)+f(1-x)=.
设S=f(-5)+f(-4)+…+f(6),则S=f(6)+f(5)+…+f(-5)
∴2S=(f(6)+f(-5))+(f(5)+f(-4))+…+(f(-5)+…f(6))=6
∴S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(6)=3.
例如:已知、为两个不相等的正数,在、之间插入个正数,使它们构成以为首项,为末项的等比数列,求插入的这个正数的积
解:设插入的这个正数为、、、……且数列、、、、……、成等比数列
则
……①
又……②
由①②得
四、错位相减法
对于数列,若且数列、分别是等差数列、等比数列时,求该数列前项和时,可用该方法。一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q,然后再将得到的新和式和原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和,就是错位相减法。
例已知数列:,求数列前项和
解:
在上式两边同乘以(或除以)等比数列的公比3,得
由①~②(两等式的右边错位相减)
∴
五、裂项相消法
对相应的数列的通项公式加以变形,将其写成两项的差,这样整个数列求和的各加数都按同样的方法裂成两项之差,其中每项的被减数一定是后面某项的减数,从而经过逐项相互抵消仅剩下有限项,可得出前项(其中{}是各项不为0的等差数列,c为常数)、部分无理数列、含阶乘的数列等。
常见的裂项方法有:
1.
2.
3.
4.
还有:;;
;等。
例已知数列:,求数列前项和
解:
六、并项法
例已知
则
解:
同理
七、拆项重组求和.
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,能分为几个等差、等比或常见的数列的和、差,则对拆开后的数列分别求和,再将其合并即可求出原和法.
例求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
解:设∴=
将其每一项拆开再重新组合得:Sn=
=
==
八、累加法
给出数列{}的递推式和初始值,若递推式可以巧妙地转化为型,可以考虑利用累加法求和,此法也叫叠加法。
例数列的前项和为,已知,求
解:由得:,
即, ,对成立。
由,,…,累加得:,又,
所以,当时,也成立。
经典高考练<br****题
1. 已知等比数列分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且
(Ⅰ)求;(Ⅱ)设,求数列
2. 已知数列满足递推式,其中
(Ⅰ)求; (Ⅱ)求数列的通项公式; (Ⅲ)求数列的前n项和
3. 已知数列的前项和为,且有,
(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项的和。
4. 已知数列{}满足,且.
(Ⅰ)求,;(Ⅱ)证明数列{}是等差数列;(Ⅲ)求数列{}的前项之和
5. 数列的前项和为,,
(Ⅰ)求数列的通项;(Ⅱ)求数列的前项和
6. . 求证:
⑴数列{bn+2}是公比为2的等比数列;
⑵;⑶.
7. 已知各项都不相等的等差数列的前六项和为60,且的等比中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列的前n项和Tn.
8. 已知是数列的前项和,,且,其中.
①求证数列是等比数列;②求数列的前项和.
9. 已知是数列{}的前n项和,并且=1,对任意正整数n,;设).
(I