文档介绍：牛顿第二定律、动量、冲量定律以及物体的非平衡态
牛顿第一定律告诉我们当物体不受力或则所受合外力为零的情况下,物体的运动状态将不会发生改变。反而言之,当物体所受的力不为零时,物体的运动状态也就一定会发生改变。运动状态的改变意味着物体的速度矢量将会发生变化,也就意味着有加速度矢量a。牛顿第二定律就是告诉我们物体所受合外力矢量F与加速度矢量a之间的关系。
回想一下牛顿第一定律中所说的惯性。物体惯性的度量是质量。将同一个力F作用在不同质量的物体上,质量大的物体越难改变其运动状态,而质量小的物体越容易改变其运动状态。运动状态的改变可以通过加速度矢量a来衡量:越容易改变其运动状态意味着速度的瞬时变化率大即加速度a越大;越难改变其运动状态则意味着速度的瞬时变化率小即加速度a越小。从这里我们可以看出:同一个力F作用下,质量大的物体加速度a小,而质量小的加速度a反而大。加速度a在力F一定的条件下与物体的质量m成反比关系。
如果将不同的力F作用在同一个物体上,很明显越大的力产生的加速度a越大,而越小的力产生的加速度a越小。即在质量相同的情况下,物体的加速度与所受的力成正比。
综上所述,我们可以总结得到质量为M的物体与所受合外力F以及加速度a之间的关系可以表示为:
F=ma
(1)
此即牛顿第二定律的数学表达式。
从(1)式我们可以看出,牛顿第二定律是一个矢量方程,因而加速度矢量a的方向与物体所受合外力F的方向是一致的。我们还可以看出,力的单位牛顿是一个复合单位,1N的力相当于使一个质量为1kg的物体产生1m/s2的加速度时所需要的力即:
1N=1kg∙m/s2
再者,如果力矢量F是一个常矢量,那么作用在物体上所产生的加速度矢量a也将是一个常矢量,因而在恒力作用下物体将作匀变速运动(是不是直线运动则取决于恒力的方向与初速度的方向是不是在同一直线上:如果在同一直线上则作直线运动,如果不在同一直线上则作曲线运动)。这里我们需要注意的是(1)式左边的力F指的是物体所受的合外力,如果是多个力同时作用在同一物体上,我们需要将所有的力进行矢量合成,合成合力F再用(1)式求得加速度。
牛顿第二定律还包含着一个更深刻的物体关系。考虑到加速度的定义式:
a=lim∆t→0∆v∆t=lim∆t→0vt+∆t-v(t)∆t
将上式代入(1)得到:
F=ma=mlim∆t→0vt+∆t-v(t)∆t=lim∆t→0mvt+∆t-mv(t)∆t
(2)
我们定义一个新的物理量动量P:
P=mv
(3)
从(3)我们可以看出动量P也是一个矢量,其单位为kg﹒m/s。在(2)中mv(t+Δt)表示t+Δt时刻的动量P(t+Δt),mv(t)表示t时刻的动量P(t),而
mvt+∆t-mvt=∆P
则表示动量的变化。代入(2)我们可以得到:
F=lim∆t→0∆P∆t
(4)
此即牛顿第二定律动量形式的表达式。
(4)式说明力矢量F是动量矢量P的瞬时变化率,即力F矢量是动量矢量P对时间t的导数。那么根据数学上的知识我们知道:动量矢量P则为力F矢量对时间的积分:
Pt+∆t-Pt=tt+∆tFdt
(5)
此即冲量定律的积分表达式。如果我们考虑力作用的时间Δt很小(诸如这类碰撞的问题),(5)可以写成如下形式:
∆P=F∆t
(6)
(6)式中