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第三单元 函 数
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常考类型剖析
例1 (襄阳)襄阳市某企业主动响应政府“创新发展”号召，研发了一个新产品．已知研发、生产这种产品成本为 30元/件，且年销售量 y(万件)关于售价x(元/件)函数解析式为：
（40≤ x﹤60）
（60 ≤ x ≤ 70）．
二次函数实际应用
类型 一
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解：(1)W= ；
(1)若企业销售该产品取得年利润为W(万元)，请直接写出年利润W(万元)关于售价 x(元/件)函数解析式；
【思维教练】依据年利润W＝(售价－成本)×年销售量，即可求出W与x函数解析式；
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(2)当该产品售价x(元/件)为多少时，企业销售该产品取得年利润最大？最大年利润是多少？
【思维教练】分别求出两个函数关系式各自取值范围内最大值，再比较这两个不一样取值范围内最值，从而确定售价x为何值时利润最大；
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解：由(1)知，当40≤x＜60时，W=－2(x－50)2＋800.
∵－2＜0，
∴当x=50时，W有最大值800.
当60≤x≤70时，W=－(x－55)2＋625.
∵－1＜0，
∴当60≤x≤70时，W随x增大而减小，
∴当x=60时，W有最大值600.
∵800＞600，
∴当该产品售价定为50元/件时，销售该产品年利润最大，最大利润为800万元．
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(3)若企业销售该产品年利润不少于750万元，试确定该产品售价x(元/件)取值范围．
【思维教练】把W=750代入(2)函数关系式中，解一元二次方程求x，依据二次函数性质确定当W≥750时x取值范围．
解：当40≤x＜60时，令W=750，得
-2(x-50)2＋800=750，解得x1=45，x2=55.
由二次函数W=-2(x-50)2＋800图象可知，
当45≤x≤55时，W≥750：
当60≤x≤70时，W最大值为600＜750.
所以，要使企业销售该产品年利润不少于750万元，该产品售价x(元/件)取值范围为45≤x≤55.
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例 2 (湘西州)如图, 长方形OABCOA边在 x 轴正半轴上, OC在 y 轴正半轴上, 抛物线 y=ax2+bx经过点 B(1, 4)和点 E(3, 0)两点.
二次函数与几何图形综合题
类型 二
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(1)求抛物线解析式;
【思维教练】要求抛物线 y=ax2+bx, 已知抛物线上 B、E两点坐标,利用待定系数法代入即可求解;
解:将点B(1,4), E(3,0)分别代入抛物线 y=ax2+bx得,
, 解得: ,
∴抛物线解析式为 y=-2x2+6x；
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(2)若点D在线段OC上, 且BD⊥DE, BD=;
【思维教练】要求点 D坐标, =DE、BD⊥DE, 经过证实△BCD≌△DOE, 证得OD=BC, 从而求得点 D坐标;
解:∵四边形OABC是矩形, ∴∠BCO＝90°, ∴∠CBD+∠BDC＝90°,
∵BD⊥DE, ∴∠BDC+∠ODE＝90°, ∴∠CBD＝∠ODE,
又∵∠BCD＝∠DOE＝90°, BD＝DE, ∴△BCD≌△DOE(AAS), ∴OD＝BC＝1,
∴点 D坐标为(0, 1)；
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(3)在条件(2)下, 在抛物线对称轴上找一点 M, 使得△BDM周长为最小, 并求出△BDM周长最小值及此时点 M坐标;
【思维教练】在△BDM中, BD为定值, 要使△BDM周长最小, 则求BM+', 连接B'D, 交对称轴于点M, 此时BM+DM最小, 即可求得△BDM周长最小值及点 M坐标;
解:由抛物线 y=-2x2+6x可知其对称轴为 ,
∴点B(1, 4)关于 对称点B'坐标为(2, 4),
如解图①, 连接DB', 设直线DB'解析式为y=kx+m, 代入点
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