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一、三角级数及三角函数系正交性
二、函数展开成傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
第十二章
傅里叶级数
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一、三角级数及三角函数系正交性
简单周期运动 :
(谐波函数)
( A为振幅,
复杂周期运动 :
令
得函数项级数
为角频率,
φ为初相 )
(谐波迭加)
称上述形式级数为三角级数.
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定理 1. 组成三角级数函数系
证:
同理可证 :
正交 ,
上积分等于 0 .
即其中任意两个不一样函数之积在
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上积分不等于 0 .
且有
不过在三角函数系中两个相同函数乘积在
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二、函数展开成傅里叶级数
定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 周期函数 , 且
右端级数可逐项积分, 则有
证: 由定理条件,
①
②
对①在
逐项积分, 得
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(利用正交性)
类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得
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叶系数为系数三角级数 ① 称为
傅里叶系数 ;
由公式 ② 确定
①
②
以
傅里
傅里叶级数 .
称为函数
介绍
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定理3 (收敛定理, 展开定理)
设 f (x) 是周期为2
周期函数,
并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 傅里叶级数收敛 , 且有
x 为间断点
其中
( 证实略 )
为 f (x) 傅里叶系数 .
x 为连续点
注意: 函数展成傅里叶级数条件比展成幂级数条件低得多.
介绍
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例1. 设 f (x) 是周期为 2 周期函数 ,
它在
上表示式为
解: 先求傅里叶系数
将 f (x) 展成傅里叶级数.
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