文档介绍：太阳影子定位技术的建模分析

摘要:
本文以拟合思想、最优化理论、网格搜索算法、针孔相机标定原理等为理论基础,利用不同形
式的直竿影子数据进行充分的数据挖掘,建立相应的完整数学模型,较为成功地实现了影子定位技
术。
对于问题一,本文根据影长、太阳高度角、太阳方位角、时间角与经度、纬度之间确定的数学
关系公理推算出影长的数学表达式,继而得到了题目给定条件下的影子长度数据,并作画了相应的
变化曲线;
对于问题二,由于超越方程的求解较为繁琐,本文建立了求解相对容易的网格搜索模型,对经
度、纬度、杆长进行固定区域等步长搜索来求取结果。为了最大程度地满足给定的数据,本文选取
影子角度差的残差平方及竿长残差双指标作为判断搜索结果的好坏程度,进而建立基于网格搜索算
法的多目标优化模型;
对于问题三,由于仅仅比问题二少一个条件,为了增加信息量来弥补条件减少带来的信息减少,
本文针对影子长度和时间建立了二次多项式曲线拟合模型,得到影子长度最小时对应的时刻,并以
此推算当地正午对应的北京时间,从而得到经度数据。继而,再以纬度、日期、杆长为搜索目标建
立和问题二中类似的循环网格搜索模型,得到可能的地点;
对于问题四,本文将视频材料等时间间隔采样(截图),依据针孔相机成像机理及空间坐标变换
理论,将截图中竿顶端的像素坐标数据转化为大地坐标系中的坐标数据,继进而通过公式演算得到
竿影夹角差分的正切比值仅与时刻有关的结论,从而引用网格搜索模型求解对应的经纬度坐标点。

关键词: 网格搜索多目标最优化拟合针孔相机标定

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太阳影子定位技术,是指根据一天中特定时刻物体的影子长度大小方位变化,建立特定的数学
模型来推算出物体所在的位置(经纬度)的一种定位方法。利用这种方法也可以根据物体所在的位
置、物体高度等信息精确地求出某一时刻的影子长度。
问题一:建立数学模型确定 2015 年 10 月 22 日北京时 9:00-15:00 之间天安门广场(北纬 39 度
54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒)3 米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线;
问题二:建立数学模型,根据未知长度的固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据,计
算出直杆所处的地点或几种可能的方位;
问题三:建立数学模型,根据未知长度固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据,计算
出附件 2 和附件 3 的若干个可能的地点与日期;
问题四:建立确定视频拍摄地点的数学模型,并根据所给视频中直杆影子长度变化规律和直杆
长度、拍摄时间等信息计算出视频拍摄的地点。去掉拍摄日期的条件后,重新确定拍摄的地点与日
期。

(1)一天内太阳直射点的纬度不变
(2)竿周围地表视为水平,忽略此区域内的地球表面弧度
(3)太阳光线是平行照射的
(4)地球的自传及公转是匀速的
(5)地球是一个规则的球体
(6)视频拍摄的相机的镜头光轴垂直于图像中的竿

h 太阳高度角
δ赤纬角
λ经度
φ纬度
A 太阳方位角
t 时间角
H 竿高度
p,L 影子长度
dp 影子长度的一阶差分
A’竿影与原坐标系 c’的 y 正方向的夹角
m 标准化时间(化为实数的 24 小时制时间)

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问题一的分析
太阳高度角计算公式:sin ℎ= sin 𝛿∙ sin 𝜑+ cos 𝛿∙ cos 𝜑∙ cos 𝑡..... ①
太阳方向角计算公式:sin 𝐴= sin 𝑡∙ cos 𝛿/ cos ℎ
..... ②
𝛿= sin(2𝜋(284 + 𝑛)/365)
赤纬角计算公式: ..... ③
H
 tanh
影长和直杆高度关系: L ..... ④
𝑡= 15(𝑚− 12)
时间角计算公式: ..... ⑤

根据题目条件,直杆的高度 H、经度、纬度、标准化时间、日期均为已知量,因此由公式⑤可
以求得时间角,由公式③可以求得赤纬角,由公式①可以求得太阳高度角,由公式④可以求得影子
的长度。这样可以得到北京时间的每一时刻对应的确定的影子长度大小。

问题一的求解
应用 Mathematica 对所得的影子长度随时间的变化曲线如图所示:(代码见附录一)

基于网格搜索算法的多目标函数优化模型

几点说明:
○