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第3节 统计模型
一、教材概念·结论·性质重视
1．线性相关
(1)散点图
一般地，如果收集到了变量x和变量y的n对数据(简称为成对数据)，如下表所示.
序号i
1
2
3
…
n
变量x
x1
x2
x3
…
xn
变量y
y1
y2
y3
…
yn
则在平面直角坐标系xOy中描出点(xi，yi)，i＝1,2,3，…，n，就可以得到这n对数据的散点图．
(2)线性相关
如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知，变量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画，则称x与y线性相关．
(3)正相关和负相关
已知x与y线性相关，如果一个变量增大，另一个变量大体上也增大，则称这两个变量正相关；如果一个变量增大，另一个变量大体上减少，则称这两个变量负相关．
相关关系与函数关系的区别与联系
(1)相同点：两者均是指两个变量的关系．
(2)不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．
②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
2．回归直线方程
(1)一般地，已知变量x与y的n对成对数据(xi，yi)，i＝1,2,3，…，＝bx＋a，对每一个已知的xi，由直线方程可以得到一个估计值
2
i＝bxi＋a，如果一次函数＝x＋能使残差平方即和(y1－1)2＋(y2－2)2＋…＋(yn－n)2＝ (yi－i)2取得最小值，则＝x＋称为y关于x的回归直线方程(对应的直线称为回归直线)．因为是使得平方和最小，所以其中涉及的方法称为最小二乘法．
其中，回归系数＝＝，＝－.
＝(x1＋x2＋…＋xn)＝i；
＝(y1＋y2＋…＋yn)＝i.
3．回归直线方程：＝x＋的性质
(1)回归直线一定过点(，)．
(2)回归系数的实际意义：
①是回归方程的斜率；
②当x增大一个单位时，增大个单位．
(1)回归直线方程不一定都有实际意义．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义．
(2)根据回归直线方程进行预报，得到的仅是一个估计值，而不一定是真实发生的值．
(3)回归直线一定过样本点的中心．
4．相关系数
(1)定义：统计学里一般用
3
r＝
＝
来衡量y与x的线性相关性强弱，这里的r称为线性相关系数(简称为相关系数)．
(2)性质
①|r|≤1，且y与x正相关的充要条件是r＞0，y与x负相关的充要条件是r＜0；
②|r|越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱，也就是得出的回归直线方程越没有价值，即方程越不能反映真实的情况；|r|越大，说明两个变量之间的线性相关性越强，也就是得出的回归直线方程越有价值；
③|r|＝1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上．
5．非线性回归方程
如果具有相关关系的两个变量x，y不是线性相关关系，那么称为非线性相关关系，所得到的方程称为非线性回归方程(也简称为回归方程)．
6．2×2列联表
(1)定义：如果随机事件A与B的样本数据整理成如下的表格形式.
A
总计
B
a
b
a＋b
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
因为这个表格中，核心的数据是中间的4个格子，所以这样的表格通常称为2×2列联表．
(2)χ2计算公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
4
根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度．若χ2的值越大，则两个分类变量有关系的把握越大．
7．独立性检验
任意给定一个α(称为显著性水平，，)，可以找到满足条件P(χ2≥k)＝α的数k(称为显著性水平α对应的分位数)．若χ2≥k成立，就称在犯错误的概率不超过α的前提下，可以认为A与B不独立(也称为A与B有关)；或说有1－α的把握认为A与B有关．若χ2＜k成立，就称不能得到前述结论．这一过程通常称为独立性检验．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．( √ )
(2)通过回归直线方程＝x＋可以估计预报变量的取值和变化趋势．( √ )
(3)回归直线方程＝x＋中，若<0，则变量x和y负相关．( × )
(4)因为由任何一组观测值都可以求得一个回归直线方程，所以没有必要进行相关性检验．( × )
2．根据如下样本数据得到的回归直线方程为＝x＋，则( )
x
3
4
5
6
7
8
y
－
－
－
A.＞0，＞0 B.＞0，＜0
C.＜0，＞0 D.＜0，＜0
B 解析：画出散点图，知＞0，＜0.
5
3．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关系数r分别如下表：
甲
乙
丙
丁
r
建立的回归模型拟合效果最好的是________．
A 解析：r越大，表示回归模型的拟合效果越好．
4．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班学生的数学成绩优秀和及格统计人数后，得到如下列联表：
优秀
及格
总计
甲班
11
34
45
乙班
8
37
45
总计
19
71
90
则χ2的值约为________．
A 解析：根据列联表中的数据，可得 χ2＝≈.
5．若变量y与x的非线性回归方程是＝2－1，则当的值为2时，x的估计值为________．
解析：由2－1＝2，得x＝，即x的估计值为.
考点1 相关关系的判断——基础性
6
1. (多选题)下列变量之间的关系是相关关系的是( )
A．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是判别式Δ＝b2－4ac
B．光照时间和果树亩产量
C．降雪量和交通事故发生率
D．每亩田施肥量和粮食亩产量
BCD 解析：在A中，若b确定，则a，b，c都是常数，Δ＝b2－4ac也就唯一确定了，因此，这两者之间是确定性的函数关系；一般来说，光照时间越长，果树亩产量越高；降雪量越大，交通事故发生率越高；施肥量越多，粮食亩产量越高，所以B，C，D是相关关系．
2．以下是在某地搜集到的不同楼盘房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋面积x(单位：m2)的数据：
房屋面积x/m2
115
110
80
135
105
销售价格y/万元
44
(1)画出数据对应的散点图．
(2)判断房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系．如果有相关关系，是正相关还是负相关？
解：(1)数据对应的散点图如图所示．
(2)通过以上数据对应的散点图可以判断，房屋的销售价格和房屋面积之间具有相关关系，并且是正相关．
两个变量是否相关的两种判断方法
(1)根据实际经验，借助积累的经验进行分析判断．
(2)通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．
考点2 一元线性回归模型及其应用——应用性
7
考向1 线性回归分析
假设关于某种设备的使用年限x(单位：年)与所支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
已知＝90，≈，iyi＝，≈，≈.
(1)计算y与x之间的相关系数()，并求出回归直线方程；
(2)根据回归直线方程，预测假设使用年限为10年时，维修费用约是多少万元？
解：(1)因为＝＝4，
＝＝5.
iyi－5 ＝－5×4×5＝，
－52＝90－5×42＝10，
－52＝－125＝，
所以r＝＝＝≈≈.
又＝＝＝，
＝－＝5－×4＝.
所以回归直线方程为＝＋.
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(2)当x＝10时，＝×10＋＝(万元)，
即假设使用10年时，维修费用约为 ．
考向2 相关系数
根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(单位：百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(单位：千克)之间的对应数据的散点图如图所示．
(1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明(若|r|＞，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)；
(2)求y关于x的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量y约为多少？
附：相关系数公式r＝＝，参考数据：≈，≈.
回归直线方程＝x＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝＝，＝－.
解：(1)由已知数据可得＝＝5，
9
＝＝4.
所以(xi－)(yi－)＝(－3)×(－1)＋(－1)×0＋0×0＋1×0＋3×1＝6，
＝
＝2，
＝
＝，
所以相关系数
r＝
＝＝≈.
因为r＞，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．
(2)＝＝＝.
那么＝4－5×＝.
所以回归直线方程为＝＋.
当x＝12时，＝×12＋＝，
即当液体肥料每亩使用量为12千克时，．
考向3 非线性回归分析
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(2020·南平质检)千百年来，人们一直在通过不同的方式传递信息．在古代，烽火狼烟、飞鸽传书、快马驿站等通信方式被人们广泛传知；第二次工业革命后，科技的进步带动了电讯事业的发展，电报、电话的发明让通信领域发生了翻天覆地的变化；之后，计算机和互联网的出现则使得“千里眼”“顺风耳”变为现实……此时此刻，5G的到来即将给人们的生活带来颠覆性的变革．“5G领先”一方面是源于我国顶层设计的宏观布局，另一方面则来自政府高度重视、企业积极抢滩、企业层面的科技创新能力和先发优势．某科技创新公司基于领先技术的支持，丰富的移动互联网应用等明显优势，随着技术的不断完善，该公司的5G经济收入在短期内逐月攀升．业内预测，该创新公司在第1个月至第7个月的5G经济收入y(单位：百万元)关于月份x的数据如下表：
时间(月份)
1
2
3
4
5
6
7
收入(百万元)
6
11
21
34
66
101
196
根据以上数据绘制如下散点图．
(1)为了更充分运用大数据、人工智能、5G等技术，公司需要派出员工实地检测产品性能和使用状况．公司领导要从报名的五名科技人员A，B，C，D，E中随机抽取3个人前往，则A，B同时被抽到的概率为多少？
(2)根据散点图判断，y＝ax＋b与y＝c·dx(a，b，c，d均为大于零的常数)哪一个适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)根据你的判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程．
(3)请你预测该公司8月份的5G经济收入．
参考数据：
yi
lg yi
xiyi
xivi
2 535
v＝lg y，vi＝lg yi.
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(xi，vi)(i＝1,2,3，…，n)，其回归直线