文档介绍：专题复****递推数列通项公式的求法
各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
数列是近几年高考中的重点,难点,也是热点。所占分值约为12%--16%,并在解答题中必有一道且往往是以压轴题的形式出现,可见其重要性非同一般。从近几年高考数列题中不难发现,大部分试题都与通项公式有关,也进一步说明数列通项公式求法的重要性。当前我认为掌握了数列通项公式应是研究数列其它性质的重要前提,也会使我们解决数列相关问题变得更简单化。
高考大纲中也明确提出:要了解数列通项公式的意义,能根据数列递推公式求出通项公式并能解决简单的实际问题。据发现,很多学生学完了数列这章后总会感到数列很难,尤其是对数列通项公式求法感到很棘手。
特殊方法:
8待定函数法
(含不动点法)
(含三角代换)
通用方法:(大神级方法)
(也叫级数法)(适合实验班数学高手,或者大学生,高中教师学****掌握。这种方法十分强大,比如像著名数列卡特兰数列递推公式都直接被母函数秒杀)
(自己发明的思维方法,名字起得不好听,呵呵。这种面向对象的思维方式非常好能激发学生的分析问题的能力!)
(详见附录一)(里面有“算子代数”模型研究结果,难度较大,适合老师学****这种方法威力极其强大,能算出极其难算的数列通项,适用范围这种一阶问题)
(其中p,q均为常数,)。
类型5. 递推公式为
类型6递推公式为
类型8. 递推公式为(其中p,q均为常数)。
(特别的情形是:)
类型11. 双数列型
递推公式为确定,.
类型12. 递推公式为
类型14..循环数列
这种类型一般利用与消去或与消去进行求解。
例题1. 已知数列的前n项和Sn满足
(Ⅰ)写出数列的前3项
(Ⅱ)求数列的通项公式;
分析:---------------①
由得----------------②
由得,,得--------------③
由得,,得---------④
用代得-----------⑤
①—⑤:
即----------------------------⑥
---------------------------⑦
解法二:
母函数法(这个通法用在这个题目上比较麻烦,这里仅仅是显示下母函数法的解题过程),母函数的优势在本题中体现不出来,但是作为通法,它有巨大价值!
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设,待定系数,用赋值法建立方程组解得:
解法三:(病灶分析法)仅仅阐述我的一种思维方式,并没有固定格式:
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我们来看一看这个递推公式,如果没有中的2,那我们都会做了,直接用累加法做即可,现在这个中的2,就是所谓的“病灶”,下面我们来消灭它!
(注明:书写方便起见,我直接采用“横式累加法”)
解法四:(病灶分析法)
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我们来看一看这个递推公式,如果没有,那我们都会做了,直接就是等比数列了,直接秒杀,现在这个,就是所谓的“病灶”,下面看我消灭它!
我们用“函数撕裂”的思想把这个撕开,分别配到左边和右边:
,比较系数得到
,就是等比数列了,而且公比是2,轻易算得:
解法五:(病灶分析法)
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和面一样,还是选取为病灶,不同的是,前面对病灶的处理,相当于对“病灶改良”把病灶规范化,相当于一个得了癌症的人,治疗以后带瘤生活。现在我换一种处理方法,就是直接把这个病灶,“肿瘤”给它割掉!
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从式中解出带入中得到:
,然后用特征方程法或者待定系数法求解求解
你可能会笑,干嘛还做麻烦了呢?嘿嘿,这个解法五发出来仅仅是展示一下肿瘤是怎么被切掉的。就题论题而言我们完全没